Hem Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Allarätt.nu Högskoleprovet Logotype
HÖGSKOLEPROVET

Allarätt.nu Högskoleprovet LogotypeHÖGSKOLEPROVET

Högskoleprovet - Förbered dig till Högskoleprovet på AllaRätt.nu och nå Drömutbildningen!

 

 STARTA ÖVNINGSPROV navigate_next 
    Instagram   
 STARTA ÖVNINGSPROV navigate_next 
algebra_icon

Ekvationer i Bråkformat på Högskoleprovet

Sammanfattning Ekvationer i Bråkformat på Högskoleprovet

Ekvationer med variabel i nämnaren

I de ekvationer där det finns en variabel (obekant) i nämnaren av ett bråkuttryck gäller samma regler som vid division av tal. Dvs om vi exempelvis förlänger vänsterledet med ett tal så behöver vi göra samma sak i högerledet.

Exempel: Ekvation med Variabel i Nämnaren

Lös ekvationen $\frac{27}{x}=3$

Vi multiplicerar båda led med x vilket ger:
$x\left(\frac{27}{x}\right)=x\cdot3$
$27 = 3x$
Vi dividerar båda led med 3 vilket ger:
$\frac{27}3=\frac{3x}{3}$
x=9

Svar: x = 9

Gemensam nämnare

Bråk som har gemensamma nämnare går att skriva på samma bråkstreck direkt. Exempelvis så är $$\frac{x}{x+2}+\frac{y}{x+2}=\frac{x+y}{x+2}$$ Då vi har bråk med olika nämnare behöver vi skriva om dem så att de får gemensam nämnare. Det vi gör är att endera förlänga bråken eller förkorta bråken. Det enklaste sättet att identifiera en gemensam nämnare är att multiplicera bråkens nämnare.

Exempel: Gemensam Nämnare

$\frac {x}4 + \frac23=1$. Bestäm x.

Multiplicerar vi nämnarna får vi gemensam nämnare = 3 · 4 = 12.
Vi förlänger bråken i vänsterledet genom att:
Multiplicera termen $\frac{x}4$ med $\frac33$
och termen $\frac23$ med $\frac44$
$\frac {x}4 + \frac23=1$
$\frac33\left(\frac {x}4\right) + \frac44\left(\frac23\right)=1$
$\frac {3x}{12} + \frac{8}{12}=1$ Nu kan vi skriva på ett bråkstreck:
$\frac{3x + 8}{12}=1$ Vi multiplicerar bägge led med 12:
$12\left (\frac{3x + 8}{12}\right)=12 \cdot 1$
$3x + 8 = 12$ Vi subtraherar bägge led med -8
$3x + 8 - 8 =12-8$
$3x=4$ Vi dividerar bägge led med 3
$x=\frac{4}{3}$

Svar: $x=\frac{4}{3}$

Minsta gemensamma nämnare

I vissa fall kan vi förkorta vår gemensamma nämnare ytterligare. En minsta gemensam nämnare är det minsta heltal som är gemensamt för bråkens nämnare.

Exempel: Minsta Gemensamma Nämnare

$\frac{2x}4+\frac{4x}8+\frac{8x}{16}=1$ Bestäm x

Här ser vi direkt att vi kan förkorta våra tre bråk, då de är skrivna som multiplar av 2.

  1. Första termen i vänsterledet är $\frac{2x}4$
    Delar vi både nämnare och täljare med 2 får vi
    $\frac{2x/2}{4/2} = \frac{x}2$.
  2. Andra termen i vänsterledet är $\frac{4x}8$
    Vi delar nämnare och täljare först med 2 och sedan med 2 igen.
    $\frac{4x/2}{8/2}=\frac{2x/2}{4/2}=\frac{x}{2}$.
  3. Den tredje termen är $\frac{8x}{16}$
    Vi delar nämnare och täljare först med 2 och sedan med 2 igen och med 2 igen.
    $\frac{8x/2}{16/2}=\frac{4x/2}{8/2}=\frac{2x/2}{4/2}=\frac{x}2$.
Nu har vi förkortat de tre bråken så långt som möjligt. Alla tre bråken har nu samma nämnare = 2 och vi kan direkt skriva på ett bråkstreck:
$\frac{2x}4+\frac{4x}8+\frac{8x}{16}=1$
$\frac{x+x+x}2=1$
$\frac{3x}2=1$ Vi multiplicerar bägge led med 2:
$2 \cdot \frac{3x}{2} = 2 \cdot 1$
$3x = 2$ Vi dividerar bägge led med 3:
$\frac{3x}{3} = \frac23$ Vilket slutligen ger:
$x = \frac23$

Svar: $x = \frac23$

Korsvis multiplikation

Korsvis multiplikation är användbart vid ekvationer med bråk och innebär att flytta över vänster nämnare till höger sida och höger nämnare till vänster sida. Det här är egentligen samma sak som förlängning, men en snabbare variant.

Exempel: Korsvis Multiplikation

Arean av en cirkel bestäms av formeln: $$A=\frac{\pi \cdot d^2}4 \;\;\;\text{Lös ut d}$$

Korsvis multiplikation ger direkt att:
$d^2=\frac{4\cdot A}{\pi}$ och $d =\sqrt{\frac{4\cdot A}{\pi}}$

Svar: $d =\sqrt{\frac{4\cdot A}{\pi}}$

Multiplicera täljare med inverterad nämnare

Uppgifter av typen $\frac{3x}{\frac12} = 6$ löser vi genom att multiplicera täljaren med den inverterade nämnaren.

Exempel: Multiplicera med Inverterad Nämnare

$$\frac{3x}{\frac12}=6\;\;\;\text{Bestäm x}$$

$\frac{3x}{\frac12} = 6 $ Först skriver vi talet 3x som $\frac{3x}{1}$ eftersom det blir tydligare:
$\frac{\frac{3x}{1}}{\frac12}= 6$
Närmnaren = $\frac12$. Vi multiplicerar täljaren med den inverterade nämnaren = $\frac21$:
${\frac{3x}{1}}\cdot (\frac21) = 6$
$6x = 6$
$x = 1$

Svar: x = 1