Potens- och exponentialfunktioner på Högskoleprovet

Sammanfattning Potens- och exponentialfunktioner på Högskoleprovet

Potensfunktionen skrivs $f (x) = a x^{n}$ .

$a > 0$ ger en konkav kurva, "glad mun".
$a < 0$ ger en konvex kurva, "ledsen mun".

Extrempunkten är lösningen på (rötterna till) ekvationen $f (x) = 0$ .

Konkava kurvors extrempunkt är en minimipunkt (minställe).
Konvexa kurvors extrempunkt är en maximipunkt (maxställe).
Symmetrilinjen svarar på x-värdet av funktionens extrempunkt och beräknas som medelvärdet av rötterna $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$
Vertex är koordinaterna för funktionens extrempunkt.

Exponentialfunktionen skrivs $f (x) = C \cdot a^{x}$ .

$C > 0$ ger en kurva ovanför x-axeln.
$C < 0$ ger en kurva nedanför x-axeln.
$a > 1$ ger en exponentiellt växande kurva.
$a < 1$ ger en exponentiellt avtagande kurva.

Potensfunktioner

Den allmänna potensfunktionen kan skrivas som: $f (x) = a x^{n}$ där $a$ och $n$ är konstanter, och $x$ är den oberoende variabeln som återfinns i potensens bas. Om $n = 0$ eller $n = 1$ , så är funktionen en linjär funktion och får då en linjär graf. Detta eftersom $x^{0} = 1$ och $x^{1} = x$ .

Nollställen, Extrempunkt (Minimipunkt och Maximipunkt), Vertex och Symmetrilinje

Om vi ritar funktionen $f (x) = x^{2} + 8 x + 7 = 0$ i en graf får vi följande:

Graf till funktion med minimipunkt

En potensfunktion vars graf ser ut så här kallas för en parabel. I vårt fall har vi markerat våra två rötter , . Dessa kallas nollställen. Vårt a-värde från pq-formeln är större än 0 och då vet vi att kurvan är konkav och har en "glad mun". Om a-värdet är negativt får vi en konvex kurva och en "ledsen mun".

Konkava kurvor har en minimipunkt eller även kallat maxställe och konvexa kurvor har en maximipunkt eller maxställe. Samlingsnamnet för en kurvas minimipunkt eller maximipunkt är extrempunkt. För att beräkna extrempunkten för en funktion med två rötter beräknar vi funktionens symmetrilinje, vilket är lika med medelvärdet av kurvans rötter. I vårt fall är kurvans symmetrilinje

Sätter vi in i vår funktion får vi:
.

Vår funktions minsta värde är . Punkten är koordinaterna för funktions minimipunkt och kallas för vertex.

Exempel: Nollställen och Maximipunkt

. Bestäm funktionens nollställen, största värde och vertex.

Vi börjar med att bestämma nollställena genom pq-formeln:

och
insatt i pq-formeln ger detta:

Symmetrilinjen ges av medelvärdet av nollställena, dvs
För att bestämma funktionens största värde beräknar vi .

Funktionens största värde är och vertex är .

Graf till funktion med maximipunkt

Svar: Funktionens nollställen är , . Största värde är och vertex är punkten .

Exempel: Nollställen och Maximipunkt 2

En fotbollsmålvakt kastar ut bollen. Kastet är en parabel och kan beskrivas med funktionen där är bollens höjd och är längden på kastet. Vad är bollens högsta höjd?

Vi börjar med att bestämma nollställena. Då vi inte har en konstant i vår funktion kan vi enkelt faktorisera:

Den ena roten får vi om vi sätter det som står utanför parentesten lika med noll, dvs och den andra roten om vi sätter det innanför parentesten lika med noll, dvs vilket ger

Vi vet att funktionen är konvex (termen är negativ) och därmed har vi en maximipunkt. Vi vet också att funktionen är symmetrisk kring maximipunkten och med våra två rötter beräknar vi symmetrilinjen Högsta höjden nås alltså efter kastlängden och vi bestämmer höjden:

Kastparabeln

Svar: Högsta höjden på bollen är

Exponentialfunktioner

Den allmänna exponentialfunktionen kan beskrivas av funktionen: där och är konstanter, och x är den oberoende variabeln som återfinns i potensens exponent.

Om konstanten är större än är funktionen exponentiellt växande
om är mindre än är funktionen exponentiellt avtagande.
Konstanten bestämmer om kurvan är ovanför x-axeln ( är större än noll)
respektive under x-axeln (C är mindre än noll).

Exempel: Potensfunktioner

Följande exempel är hämtat från Högskoleprovet våren 2012 och visar karaktären på exponentialkurvor beroende på värdena C och a.

exponentialfunktion-exempel1

ger en kurva nedanför x-axeln.
ger en exponentiellt avtagande kurva.

exponentialfunktion-exempel2

ger en kurva nedanför x-axeln.
ger en exponentiellt växande kurva.

exponentialfunktion-exempel3

ger en kurva ovanför x-axeln.
ger en exponentiellt avtagande kurva.

exponentialfunktion-exempel4

ger en kurva ovanför x-axeln.
ger en exponentiellt växande kurva.

Det vi ser i våra fyra grafer är:

Om (Graf 3 och 4) får vi en kurva ovanför x-axeln.
Om (Graf 1 och 2) får vi en kurva nedanför x-axeln.
Om (Graf 2 och 4) får vi en exponentiellt växande kurva.
Om (Graf 1 och 3) får vi en exponentiellt avtagande kurva.