Andragradsekvationer på Högskoleprovet

Sammanfattning Andragradsekvationer på Högskoleprovet

Ekvationer på formen $ax^2 + bx + c$ kan lösas med pq-formeln:

$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$
$p=\frac ba$ och $q=\frac ca$

Konjugatregeln: $(a+b)\cdot(a-b) = a^2 - b^2$
Första kvadreringsregeln: $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
Andra kvadreringsregeln: $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
En ekvation med x²-term har normal 2 lösningar, med x³-term 3 lösningar, osv.
Kvadratkomplettering: $x^2+px=x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2=\\ \left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2$

Enkla andragradsekvationer

En andragradsekvation skrivs allmänt på formen: $$ax^2 + bx + c$$ och en motsvarande andragradsfunktion (se avsnittet om Potensfunktioner): $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ Enkla andragradsekvationer är sådana ekvationer som endera saknar x-term (b = 0), t.ex. x² - 25 = 0 eller konstant (c = 0), t.ex. x² - 4x = 0. Dessa ekvationer kan vi lösa genom faktorisering eller genom att flytta över konstanttermen till högerledet och beräkna roten ur respektive led.

Exempel: Enkla Andragradsekvationer 1

Bestäm rötterna till ekvationen x² - 25 = 0

Vi flyttar över konstanten till högerledet och kan lösa ekvationen direkt genom att dra roten ur bägge led:
$x^2=\sqrt25\Rightarrow x =\pm \sqrt{25}\Rightarrow x = \pm 5$

Svar: x₁ = 5, x₂ = -5

Exempel: Enkla Andragradsekvationer 2

Bestäm rötterna till ekvationen x² - 4x = 0

x² - 4x = x(x - 4) = 0
Då vi faktoriserat talet enligt ovan är det enkelt att bestämma de två rötterna. Den ena roten får vi om vi sätter det som står utanför parentesen i vänsterledet (dvs x) lika med högerledet (dvs 0). Den andra roten får vi om vi sätter det som står innanför parentesen (dvs x - 4) lika med noll.

Svar: x₁ = 0, x₂ = 4.

pq-formeln

Då vi ska lösa ekvationer på formen ax² + bx + c och då vi har värden på både x-termen (dvs b $\neq$ 0) och konstanten (dvs c $\neq$ 0) kan vi endera göra kvadratkomplettering eller utnyttja pq-formeln: $$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$ Där $p=\frac ba$ och $q=\frac ca$

Exempel: pq-formeln

Bestäm lösningen till ekvationen $x^{2}+8x+7=0$

I det här fallet är p = 8 och q = 7. pq-formeln ger:
$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{8}{2} \right )^{2}-7}$
$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{16-7}$
$x=-4\pm\sqrt{9}$
$x=-4\pm 3$.

Svar: x₁ = -1, x₂ = -7

Konjugatregeln

Konjugatregeln skrivs: $$(a+b)\cdot(a-b) = a^2 - b^2$$

Exempel: Konjugatregeln

Beräkna (x + 2) · (x - 2)

Enligt konjugatregeln:
(x + 2) · (x - 2) = x² - 2² = x² - 4

Svar: x² - 4

Första och Andra Kvadreringsregelerna

Första kvadreringsregeln skrivs: $$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$ Andra kvadreringsregeln skrivs: $$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$$

Exempel: Första Kvadreringsregeln

Bestäm (x + 2)²

Enligt första kvareringsregeln:
(x + 2)² = x² + 2² + 2 · x · 2 = x² + 4 + 4x

Svar: x² + 4 + 4x

Exempel: Andra Kvadreringsregeln

Bestäm (x - 2)²

Enligt andra kvareringsregeln:
(x - 2)² = x² + 2² - 2 · x · 2 = x² + 4 - 4x

Svar: x² + 4 - 4x

Andragradsekvationers Lösbarhet

En ekvation med ett högre gradtal, exempelvis x², x³, osv., har normalt lika många lösningar (rötter) som gradtalet, fast flera av lösningarna kan vara samma. Dvs, en ekvation med x²-term har normalt två lösningar, en ekvation med x³-term har normalt tre lösningar, osv.

Att en andragradsekvation har samma lösning brukar kallas dubbelrötter, exempelvis ekvationen x² – 4x + 4 = 0, vilket ger x₁ = 2 och x₂ = 2.

Som exemplet nedan visar så har inte alla ekvationer en lösning.

Exempel: Andragradsekvationers Lösbarhet

Bestäm lösningen till ekvationen 2y² + 50 = 0

Vi börjar med att dividera vänsterledet och högerledet med 2 för att få koefficienten framför y = 1:
$\frac{2y^2 + 50}2 = \frac02$
$y^2 + 25 = 0$
Därefter flyttar vi konstanten 25 till högerledet:
$y^2 = -25\Rightarrow y=\pm \sqrt{-25}$

Vi ser då att vi får ett negativt tal under rottecknet. Det innebär att ekvationen inte har några reella rötter. Om vi ritar kurvan till ekvationen 2y² + 50 så ser vi att den aldrig skär x-axeln och därmed saknar nollställen.

Svar: Ekvationen saknar lösning (för reella tal).

Kvadratkomplettering, ABC-formeln och tredjegradsbionom

Kvadratkomplettering: $$x^2+px=x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2=\\ \left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2$$ ABC-formeln:
Andragradsekvationer av typen ax² + bx + c = 0 där a ≠ 0 har rötterna: $$x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{(2a)^2} - \frac{c}{a}}=$$ $$= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Tredjegradsbionom: $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$ $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$ $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$