Andragradsekvationer på Högskoleprovet

Sammanfattning Andragradsekvationer på Högskoleprovet

Ekvationer på formen $ax^2 + bx + c$ kan lösas med pq-formeln:

$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$
$p=\frac ba$ och $q=\frac ca$

Konjugatregeln:$(a+b)\cdot(a-b) = a^2 - b^2$
Första kvadreringsregeln: $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
Andra kvadreringsregeln: $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$
En ekvation med $x^2$-term har normalt 2 lösningar, med $x^3$-term 3 lösningar, osv.
Kvadraten av ett tal kan skrivas $$x^2=(x+d)(x-d)+d^2$$ eller $$x^2=(x-d)(x+d)+d^2$$ där $x$ är talet i kvadrat och $d$ är differensen.

Exempel: $63^2=$
$=(63-3)(63+3)+3^2=$
$=60\cdot66+9=$
$=60(60+6)+9=$
$=3600+360+9=$
$=3969$

Diskriminanten $=\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q$ är det som står under rottecknet i pq-formeln och avgör hur många lösningar en andragradsekvation har:

Diskriminanten $\gt 0 \Rightarrow$ $2$ (reella) lösningar.

Diskriminanten $= 0 \Rightarrow$ $1$ reell lösning.
Diskriminanten $\lt 0 \Rightarrow$ ingen reell lösning.

Kvadratkomplettering:

$x^2+px=$
$=x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2=$
$\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2$

Enkla andragradsekvationer

En andragradsekvation skrivs allmänt på formen: $$ax^2 + bx + c$$ och en motsvarande andragradsfunktion (se avsnittet om Potensfunktioner): $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ Enkla andragradsekvationer är sådana ekvationer som endera saknar $x$-term ($b = 0$), t.ex. $x^2 - 25 = 0$ eller konstant ($c = 0$), t.ex. $x^2 - 4x = 0$. Dessa ekvationer kan vi lösa genom faktorisering eller genom att flytta över konstanttermen till högerledet och beräkna roten ur respektive led.

Exempel: Enkla Andragradsekvationer 1

Bestäm rötterna till ekvationen $\boldsymbol{x^2 - 25 = 0}$

Vi flyttar över konstanten till högerledet och kan lösa ekvationen direkt genom att dra roten ur bägge led:

$x^2=25\Rightarrow x =\pm \sqrt{25}\Rightarrow x = \pm 5$

Svar: $x_1 = 5, x_2 = -5$. Motsvarande funktion $f(x) = x^2 - 25$ enligt nedan.

andragradsekvation

Exempel: Enkla Andragradsekvationer 2

Bestäm rötterna till ekvationen $\boldsymbol{x^2 - 4x = 0}$

$x^2 - 4x = x(x - 4) = 0$

Då vi faktoriserat talet enligt ovan är det enkelt att bestämma de två rötterna. Den ena roten får vi om vi sätter det som står utanför parentesen i vänsterledet (dvs $x$) lika med högerledet (dvs $0$). På samma sätt beräknar vi den andra roten om vi sätter det som står innanför parentesen (dvs $x - 4$) till högerledet. Den här metoden kallas nollproduktmetoden.

Svar: $x_1 = 0, x_2 = 4$. Motsvarande funktion $f(x) = x^2 - 4x$ enligt nedan.

andragradsekvation-2

Beräkna kvadraten (upphöjt till två) av ett tal med huvudräkning och faktorisering

Då vi inte har tillgång till dator och ska beräkna kvadraten av ett tal kan vi utnyttja att kvadraten av ett tal kan skrivas $x^2=(x+d)(x-d)+d^2$ eller $x^2=(x-d)(x+d)+d^2$ där $x$ är talet i kvadrat och $d$ är differensen.

Exempel: $63^2=$
$=(63-3)(63+3)+3^2=$
$=60\cdot66+9=$
$=60(60+6)+9=$
$=3600+360+9=$
$=3969$

Exempel: Beräkna kvadraten av ett tal

Vad är $\boldsymbol{74^2?}$

$74^2=(74-4)(74+4)+4^2=$
$=70\cdot78 + 16=$
$=70(70+8)+16=$
$=4900+ 560+16=5476$

Svar: $74^2=5476$.

pq-formeln

Då vi ska lösa ekvationer på formen $ax^2 + bx + c$ och då vi har värden på både x-termen (dvs $b \neq 0$) och konstanten (dvs $c \neq 0$) kan vi endera göra kvadratkomplettering eller utnyttja pq-formeln:

$$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$ $$p=\frac ba \text{ och } q=\frac ca$$

Exempel: pq-formeln

Bestäm lösningen till ekvationen $\boldsymbol{x^{2}+8x+7=0}$

Vi utnyttjar pq-formeln. I det här fallet är $p = 8$ och $q = 7$. pq-formeln ger:

$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{8}{2} \right )^{2}-7}$

$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{16-7}$

$x=-4\pm\sqrt{9}$

$x=-4\pm 3$.

Svar: $x_1 = -1, x_2 = -7$. Motsvarande funktion $f(x) = x^{2}+8x+7$ enligt nedan.

andragradsekvation-3

Konjugatregeln

Konjugatregeln skrivs: $$(a+b)\cdot(a-b) = a^2 - b^2$$

Exempel: Konjugatregeln

Beräkna $\boldsymbol{(x + 2) \cdot (x - 2)}$

Enligt konjugatregeln:

$(x + 2) \cdot (x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$

Svar: $x^2 - 4$

Första och Andra Kvadreringsregelerna

Första kvadreringsregeln skrivs: $$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$ Andra kvadreringsregeln skrivs: $$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$$

Exempel: Första Kvadreringsregeln

Bestäm $\boldsymbol{(x + 2)^2}$

Enligt första kvadreringsregeln:

$(x + 2)^2 = x^2 + 2^2 + 2 \cdot x \cdot 2 = x^2 + 4 + 4x$

Svar: $x^2 + 4 + 4x$

Exempel: Andra Kvadreringsregeln

Bestäm $\boldsymbol{(x - 2)^2}$

Enligt andra kvadreringsregeln:

$(x - 2)^2 = x^2 + 2^2 - 2 \cdot x \cdot 2 = x^2 + 4 - 4x$

Svar: $x^2 + 4 - 4x$

Variabelbyte, kvadratkomplettering och inspektionsmetoden

I vissa uppgifter gör ett variabelbyte att vi förenklar ekvationen och kan lösa den snabbare. Variabelbyte är mycket användbart för mer komplicerade uppgifter än de som ska lösas på högskoleprovet, men kan ibland passa mycket bra även för uppgifterna på högskoleprovet. Variabelbyte går ut på att ersätta vissa termer i ekvationen för att förenkla ekvationen, ofta genom utnyttjande av konjugatregeln eller kvadreringsreglerna.

Kvadratkomplettering går också ut på att använda kvadreringsreglerna. Vi "möblerar om" ekvationen så att den passar den första eller den andra kvadreringsregeln.

Vissa andragradsekvationer kan faktoriseras genom den sk. inspektionsmetoden.

$$x^2+b\,x+c=(x+p)(x+q)$$ $$p+q=b\text{ och } p\cdot q = c$$

Vilket ger $x_1=-p$ och $x_2=-q$. I det fall vi enkelt kan kan hitta $p$ och $q$ är detta ett snabbare sätt att lösa andragradsekvationer än exempelvis pq-formeln.

Exempel: Variabelbyte

Bestäm $\boldsymbol{x}$ för ekvationen $\boldsymbol{(x+1)^2-4=0}$

Vi ersätter $(x + 1)$ med $u$ och skriver om vår ekvation:

$u^2-4=0 \Rightarrow u^2=4 \Rightarrow u = \pm 2$

Nu ersätter vi tillbaka $u$ med $(x + 1)$:

$x + 1 = \pm 2 \Rightarrow x = -1 \pm 2$

Svar: $x=1$ eller $x=-3$

Exempel: Kvadratkomplettering

Vad är rötterna till ekvationen $\boldsymbol{{x^2+4x-5=0}?}$

Vi börjar med att flytta konstanttermen till högerledet:

$x^2+4x=5$

Strategin är att faktorisera vänsterledet med hjälp av den första kvadreringsregeln. Om x-termen vore negativ hade vi utnyttjat den andra kvadreringsregeln. Första kvadreringsregeln skrivs $x^2+2bx+b^2=(x+b)^2$. För att få vårt vänsterled på den här formen behöver vi alltså lägga till en konstantterm $b^2$, samtidigt som $2bx$ ska vara lika med x-termen i vårt vänsterled, vilket ger $2bx = 4x \Rightarrow b = 2$.

Vi lägger till $b^2 = 2^2$ i både vänsterledet och högerledet i vår ekvation, vilket ger:

$x^2+4x + 2^2 = 5 + 2^2 \Rightarrow (x+2)^2=9$

$x + 2 = \pm 3 \Rightarrow x = -2 \pm 3$.

Svar: $x=1$ eller $x=-5$

Exempel: Inspektionsmetoden

Vad är alla lösningar till ekvationen $\boldsymbol{x^2 + x - 12 = 0?}$

Vi söker $p$ och $q$ så att vi kan faktorisera $x^2 + x - 12 = (x+p)(x-q)$

Enligt inspektionsmetoden ska $p$ och $q$ väljas så att $p+q=1$ och $p \cdot q = -12$

Prövning ger oss att $p=4$ och $q=-3$:

$x^2 + x - 12 = 0 \Rightarrow (x+4)(x-3)=0$

$x_1 = -4$ och $x_2=3$

Svar: $x = -4$ eller $x=3$

Andragradsekvationers Lösbarhet

En ekvation med ett högre gradtal, exempelvis $x^2, x^3$, osv., har normalt lika många lösningar (rötter) som gradtalet, fast flera av lösningarna kan vara samma. Dvs, en ekvation med $x^2$-term har normalt två lösningar, en ekvation med $x^3$-term har normalt tre lösningar, osv.

Att en andragradsekvation har samma lösning brukar kallas dubbelrötter, exempelvis ekvationen $x^2 - 4x + 4 = 0$, vilket ger $x_1 = 2$ och $x_2 = 2$.

Som exemplet nedan visar så har inte alla ekvationer en lösning.

Exempel: Andragradsekvationers Lösbarhet

Bestäm lösningen till ekvationen $\boldsymbol{2y^2 + 50 = 0}.$

Vi börjar med att dividera vänsterledet och högerledet med $2$ för att få koefficienten framför $y = 1$:

$\frac{2y^2 + 50}2 = \frac02$

$y^2 + 25 = 0$. Därefter flyttar vi konstanten $25$ till högerledet:

$y^2 = -25\Rightarrow y=\pm \sqrt{-25}$

Vi ser då att vi får ett negativt tal under rottecknet. Det innebär att ekvationen inte har några reella rötter. Om vi ritar kurvan till ekvationen $2y^2 + 50$ så ser vi att den aldrig skär x-axeln och därmed saknar nollställen.

Svar: Ekvationen saknar lösning (för reella tal). Motsvarande funktion till $2y^2 + 50$ enligt nedan.

andragradsekvation-4

När har en andragradsekvation bara en lösning?

Som vi tidigare beskrivit har andragradsekvationer normalt två lösningar, men vissa andragradsekvationer har bara en lösning eller saknar lösning helt. Studerar vi pq-formeln så kan vi avgöra hur många lösningar en andragradsekvation har. Det som står innanför för rottecknet, dvs $\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q$, kallas diskriminanten. Utgående från värdet på diskriminanten ger det oss tre olika möjligheter:

$\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q \gt 0 \Rightarrow$ 2 (reella) lösningar.
$\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q = 0 \Rightarrow$ 1 (reell) lösning.
$\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q \lt 0 \Rightarrow$ Inga (rella) lösningar.

Grafiskt innebär det här:

Diskriminanten $\gt 0$: Andragradsekvationen skär x-axeln vid 2 punkter.
Diskriminanten $= 0$: Andragradsekvationen skär x-axeln vid 1 punkt.
Diskriminanten $\lt 0$: Andragradsekvationen skär inte x-axeln.

Exempel: När har en andragradsekvation bara en lösning?

För vilket värde på konstanten $\boldsymbol{a}$ har ekvationen $\boldsymbol{x^2 = 4a - 8}$ exakt en lösning?

Det är lätt att bli lurad av uppgiften och tolka att termen $4a$ hör till x-termen, men det stämmer inte. Istället är hela termen $4a - 8$ en konstant och x-term saknas i ekvationen. Vi provar därför att sätta $a$ lika med de olika värden vi finner bland våra svarsalternativ:

Vi får $x^2=4\cdot 1 -8=-4$. Det här går inte. Vi kan inte få ett negativt tal då vi multiplicerar talet med sig själv (för reella tal).
$x^2=4\cdot 2 -8=0$. Vi får en lösning och vårt svar är därför svarsalternativet B.
$x^2=4\cdot 3 -8=4$. Vilket inte stämmer. Vi får två lösningar $x_1=-\sqrt4=-2$ och $x_2=\sqrt4=2$
$x^2=4\cdot 4 -8=8$. Vilket inte heller stämmer. Vi får två lösningar $x_1=-\sqrt 8$ och $x_2=\sqrt8$

Svaret är därför B, dvs för $a = 2$.

Svar: Alternativ B.

Exempel: När har en andragradsekvation bara en lösning 2?

För vilka värden på konstanten $\boldsymbol{k}$ har ekvationen $\boldsymbol{x^2 + kx + 25}$ exakt en lösning?

$p=\frac ba = \frac{k}{1}=k$ och $q=\frac {25}{1}=25$

Diskriminanten $=\left (\frac{k}{2} \right )^{2}-25=\frac{k^2}{4}-25$

Vi vill beräkna $k$ så att diskriminanten $= 0,$ dvs.

$\frac{k^2}{4}-25=0$

$k^2=100 \Rightarrow k = \pm \sqrt{100}=\pm 10$

Svar: $k = \pm 10$.

Kvadratkomplettering, ABC-formeln och tredjegradsbionom

Kvadratkomplettering: $$x^2+px=x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2=$$ $$\left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2$$ ABC-formeln:
Andragradsekvationer av typen $ax^2 + bx + c = 0$ där $a \ne$ 0 har rötterna: $$x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{(2a)^2} - \frac{c}{a}}=$$ $$= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Tredjegradsbionom: $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$ $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$ $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$