Hem Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Allarätt.nu Högskoleprovet Logotype
HÖGSKOLEPROVET

Allarätt.nu Högskoleprovet LogotypeHÖGSKOLEPROVET

Högskoleprovet - Förbered dig till Högskoleprovet på AllaRätt.nu och nå Drömutbildningen!

 

 STARTA ÖVNINGSPROV navigate_next 
    Instagram   
 STARTA ÖVNINGSPROV navigate_next 
algebra_icon

Andragradsekvationer på Högskoleprovet

Sammanfattning Andragradsekvationer på Högskoleprovet

Enkla andragradsekvationer

En andragradsekvation skrivs allmänt på formen: $$ax^2 + bx + c$$ och en motsvarande andragradsfunktion (se avsnittet om Potensfunktioner): $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ Enkla andragradsekvationer är sådana ekvationer som endera saknar x-term (b = 0), t.ex. x2 - 25 = 0 eller konstant (c = 0), t.ex. x2 - 4x = 0. Dessa ekvationer kan vi lösa genom faktorisering eller genom att flytta över konstanttermen till högerledet och beräkna roten ur respektive led.

Exempel: Enkla Andragradsekvationer 1

Bestäm rötterna till ekvationen x2 - 25 = 0

Vi flyttar över konstanten till högerledet och kan lösa ekvationen direkt genom att dra roten ur bägge led:
$x^2=\sqrt25\Rightarrow x =\pm \sqrt{25}\Rightarrow x = \pm 5$

Svar: x1 = 5, x2 = -5

Exempel: Enkla Andragradsekvationer 2

Bestäm rötterna till ekvationen x2 - 4x = 0

x2 - 4x = x(x - 4) = 0
Då vi faktoriserat talet enligt ovan är det enkelt att bestämma de två rötterna. Den ena roten får vi om vi sätter det som står utanför parentesen i vänsterledet (dvs x) lika med högerledet (dvs 0). Den andra roten får vi om vi sätter det som står innanför parentesen (dvs x - 4) lika med noll.

Svar: x1 = 0, x2 = 4.

pq-formeln

Då vi ska lösa ekvationer på formen ax2 + bx + c och då vi har värden på både x-termen (dvs b $\neq$ 0) och konstanten (dvs c $\neq$ 0) kan vi endera göra kvadratkomplettering eller utnyttja pq-formeln: $$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$ Där $p=\frac ba$ och $q=\frac ca$

Exempel: pq-formeln

Bestäm lösningen till ekvationen $x^{2}+8x+7=0$

I det här fallet är p = 8 och q = 7. pq-formeln ger:
$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{8}{2} \right )^{2}-7}$
$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{16-7}$
$x=-4\pm\sqrt{9}$
$x=-4\pm 3$.

Svar: x1 = -1, x2 = -7

Konjugatregeln

Konjugatregeln skrivs: $$(a+b)\cdot(a-b) = a^2 - b^2$$
Exempel: Konjugatregeln

Beräkna (x + 2) · (x - 2)

Enligt konjugatregeln:
(x + 2) · (x - 2) = x2 - 22 = x2 - 4

Svar: x2 - 4

Första och Andra Kvadreringsregelerna

Första kvadreringsregeln skrivs: $$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$ Andra kvadreringsregeln skrivs: $$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$$
Exempel: Första Kvadreringsregeln

Bestäm (x + 2)2

Enligt första kvareringsregeln:
(x + 2)2 = x2 + 22 + 2 · x · 2 = x2 + 4 + 4x

Svar: x2 + 4 + 4x

Exempel: Andra Kvadreringsregeln

Bestäm (x - 2)2

Enligt andra kvareringsregeln:
(x - 2)2 = x2 + 22 - 2 · x · 2 = x2 + 4 - 4x

Svar: x2 + 4 - 4x

Andragradsekvationers Lösbarhet

En ekvation med ett högre gradtal, exempelvis x2, x3, osv., har normalt lika många lösningar (rötter) som gradtalet, fast flera av lösningarna kan vara samma. Dvs, en ekvation med x2-term har normalt två lösningar, en ekvation med x3-term har normalt tre lösningar, osv.

Att en andragradsekvation har samma lösning brukar kallas dubbelrötter, exempelvis ekvationen x2 – 4x + 4 = 0, vilket ger x1 = 2 och x2 = 2.

Som exemplet nedan visar så har inte alla ekvationer en lösning.

Exempel: Andragradsekvationers Lösbarhet

Bestäm lösningen till ekvationen 2y2 + 50 = 0

Vi börjar med att dividera vänsterledet och högerledet med 2 för att få koefficienten framför y = 1:
$\frac{2y^2 + 50}2 = \frac02$
$y^2 + 25 = 0$
Därefter flyttar vi konstanten 25 till högerledet:
$y^2 = -25\Rightarrow y=\pm \sqrt{-25}$

Vi ser då att vi får ett negativt tal under rottecknet. Det innebär att ekvationen inte har några reella rötter. Om vi ritar kurvan till ekvationen 2y2 + 50 så ser vi att den aldrig skär x-axeln och därmed saknar nollställen.

Svar: Ekvationen saknar lösning (för reella tal).

Kvadratkomplettering, ABC-formeln och tredjegradsbionom

Kvadratkomplettering: $$x^2+px=x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2=\\ \left(x+\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2$$ ABC-formeln:
Andragradsekvationer av typen ax2 + bx + c = 0 där a ≠ 0 har rötterna: $$x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{(2a)^2} - \frac{c}{a}}=$$ $$= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Tredjegradsbionom: $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$ $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$ $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$