En andragradsekvation skrivs allmänt på formen: $$ax^2 + bx + c$$ och en motsvarande andragradsfunktion (se avsnittet om Potensfunktioner): $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ Enkla andragradsekvationer är sådana ekvationer som endera saknar x-term (b = 0), t.ex. x2 - 25 = 0 eller konstant (c = 0), t.ex. x2 - 4x = 0. Dessa ekvationer kan vi lösa genom faktorisering eller genom att flytta över konstanttermen till högerledet och beräkna roten ur respektive led.
Bestäm rötterna till ekvationen x2 - 25 = 0
Vi flyttar över konstanten till högerledet och kan lösa ekvationen direkt genom att dra roten ur bägge led:Bestäm rötterna till ekvationen x2 - 4x = 0
x2 - 4x = x(x - 4) = 0
Då vi faktoriserat talet enligt ovan är det enkelt att bestämma de två rötterna. Den ena roten får vi om vi sätter det som står utanför parentesen i vänsterledet (dvs x) lika med högerledet (dvs 0). Den andra roten får vi om vi sätter det som står innanför parentesen (dvs x - 4) lika med noll.
Då vi ska lösa ekvationer på formen ax2 + bx + c och då vi har värden på både x-termen (dvs b $\neq$ 0) och konstanten (dvs c $\neq$ 0) kan vi endera göra kvadratkomplettering eller utnyttja pq-formeln: $$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$ Där $p=\frac ba$ och $q=\frac ca$
Bestäm lösningen till ekvationen $x^{2}+8x+7=0$
I det här fallet är p = 8 och q = 7. pq-formeln ger:
$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{\left (\frac{8}{2} \right )^{2}-7}$
$x=-\frac{8}{2}\pm\sqrt{16-7}$
$x=-4\pm\sqrt{9}$
$x=-4\pm 3$.
Beräkna (x + 2) · (x - 2)
Enligt konjugatregeln:
(x + 2) · (x - 2) = x2 - 22 = x2 - 4
Bestäm (x + 2)2
Enligt första kvareringsregeln:
(x + 2)2 = x2 + 22 + 2 · x · 2 = x2 + 4 + 4x
Bestäm (x - 2)2
Enligt andra kvareringsregeln:
(x - 2)2 = x2 + 22 - 2 · x · 2 = x2 + 4 - 4x
En ekvation med ett högre gradtal, exempelvis x2, x3, osv., har normalt lika många lösningar (rötter) som gradtalet, fast flera av lösningarna kan vara samma. Dvs, en ekvation med x2-term har normalt två lösningar, en ekvation med x3-term har normalt tre lösningar, osv.
Att en andragradsekvation har samma lösning brukar kallas dubbelrötter, exempelvis ekvationen x2 – 4x + 4 = 0, vilket ger x1 = 2 och x2 = 2.
Som exemplet nedan visar så har inte alla ekvationer en lösning.
Bestäm lösningen till ekvationen 2y2 + 50 = 0
Vi börjar med att dividera vänsterledet och högerledet med 2 för att få koefficienten framför y = 1:
$\frac{2y^2 + 50}2 = \frac02$
$y^2 + 25 = 0$
Därefter flyttar vi konstanten 25 till högerledet:
$y^2 = -25\Rightarrow y=\pm \sqrt{-25}$
Vi ser då att vi får ett negativt tal under rottecknet. Det innebär att ekvationen inte har några reella rötter. Om vi ritar kurvan till ekvationen 2y2 + 50 så ser vi att den aldrig skär x-axeln och därmed saknar nollställen.
Svar: Ekvationen saknar lösning (för reella tal).