Trianglar på Högskoleprovet

Sammanfattning Trianglar på högskoleprovet

triangel

Gemensamt för alla trianglar:

$Omkrets= a + b + c$
$Area= \frac{b \cdot h}{2}$
$Vinkelsumma = x + y + z = 180°$

Triangelns största vinkel är motstående triangelns längsta sida, osv. Ex. I triangeln ovan om $c > b > a$ så gäller att $x > z > y.$
I en liksidig triangel är alla sidorna lika långa och alla vinklarna $= 60^o.$
I en likbent triangel är två sidor lika långa och basvinklarna lika stora.
I en rätvinklig triangel (en triangel med en vinkel lika med $90^o$) gäller pythagoras sats $c^2=a^2+b^2$. Sidan $c$ är hypotenusan som är den längsta sidan och motstående den räta vinkeln. $a$ och $b$ är kateter.
Yttervinkelsatsen: En yttervinkel är lika med vinkelsumman av de två motstående inre vinklarna i triangeln.
Triangelolikheten: Längden av en viss sida är mindre än summan av längderna av de övriga sidorna, men större än differensen mellan dessa sidor.

Allmänt om Trianglar

triangel

Triangeln är en av de grundläggande geometriska formerna. De typer av trianglar som vanligen förekommer på högskoleprovet är:

Spetsvinklig: Alla vinklar är mindre än $90^o$.
Rätvinklig: En vinkel är rät (lika med $90^o$).
Trubbvinklig: Om en av vinklarna är större än $90^o.$
Likbent: Om två sidor är lika långa.
Liksidig: Om alla sidor är lika långa.
Skalen (eller ojämn): Motsatsen till liksidig triangel. Om alla vinklar är olika och ingen av sidorna är lika lång.

Gemensamt för alla trianglar är omkrets, area och vinkelsumma: $$Omkrets= a + b + c$$ $$Area= \frac{b \cdot h}{2}$$ $$Vinkelsumma = x + y + z = 180°$$

Exempel: Triangel

Vad är arean, omkretsen och vinklarna i triangeln $\boldsymbol{ABC?}$

triangel2

Triangeln $ABC$ är trubbvinklig, eftersom en vinkel är större än $90^o,$ och även likbent, då två sidor är lika långa och de två basvinklarna $x$ är lika stora.

Svar:

Arean $= \frac{b \cdot h}{2}=\frac{5 \cdot 3}{2}=7,5$ areaenheter. Observera att höjden i en triangel alltid är vinkelrät mot basen.
Omkretsen $=$ sidan $AB +$ sidan $BC +$ sidan $CA = 5 + 10 + 5 = 20$ längdenheter.
Vinkelsumman i triangeln $= 2,5x + x + x = 180^o.$
$x = \frac{180}{4,5} = 40^o.$
Dvs två vinklar är $40^o$ och en vinkel är $2,5 \cdot 40^o = 100^o.$

Rätvinklig triangel och Pythagoras sats

rätvinklig triangel

Trianglar med en rät vinkel (vinkel lika med $90^o$) kallas rätvinklig triangel. Enligt Pythagoras sats så gäller att för en rätvinklig triangels sidor är Kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraterna på kateterna. Hypotenusan är den längsta sidan i en rätvinklig triangel och är motstående sida till den räta vinkeln. Katet är benämningen på var och en av de två sidor vilka bildar den räta vinkeln.

Pythagoras sats kan skrivas: $$a^2+b^2=c^2$$

Exempel: Pythagoras Sats

Vad är hypotenusan i triangeln?

pythagoras sats

Triangeln är rätvinklig och då gäller Pythagoras sats, dvs

$c^2=a^2+b^2$

$c=\sqrt{a^2 + b^2}$

$c=\sqrt{3^2 + 4^2}$

$c=\sqrt{25}=5\:cm$

En triangel med sidolängderna $3, 4, 5$ kallas egyptisk triangel.

Svar: Hypotenusan är $5\, cm.$

På högskoleprovet förekommer ofta uppgifter med Pythagoras sats. Uppgifterna är ofta utformade så att de tre sidorna är heltal och kallas då Pythagoras trippel. Exempel på trianglar vars sidor uppfyller Pythagoras trippel är:

$(3, 4, 5)$
$(5, 12, 13)$
$(8, 15, 17)$
$(7, 24, 25)$

Alla multiplar av ovanstående exempel uppfyller också Pythagoras trippel, exempelvis $(6,8,10)$, $(9,12,15)$ och $(12,16,20)$ som alla är multiplar av $(3,4,5).$

Exempel: Pythagoras Sats 2

Olle bygger ett hus och vill kontrollera att det står rakt genom att mäta vinkel $x$. Vilket svarsalternativ motsvarar en vinkel $\boldsymbol{x\ne90^o?}$

$A=3\,dm$, $B=5\,dm$, $C=4\,dm$
$A=6\,dm$, $B=10\,dm$, $C=8\,dm$
$A=9\,dm$, $B=15\,dm$, $C=12\,dm$
$A=12\,dm$, $B=20\,dm$, $C=18\,dm$

pythagoras sats 2

I en rätvinklig triangel gäller Pythagoras sats. Vi ser att svarsalternativen A, B och C är multiplar av $\text{3, 4, 5}$ och då är $x=90^o$. Däremot uppfyller inte D Pythagoras sats och då vet vi att $x$ inte är $90^o.$

Svar: Svarsalternativet D motsvarar en vinkel $x\ne90^o.$

Liksidig triangel

liksidig triangel

I en liksidig triangel är alla sidor lika långa, dvs $a = b = c,$ och alla tre vinklar är lika med $60^o.$ Omvänt gäller också att om en triangel har tre lika stora vinklar så är triangeln liksidig.

Likbent triangel

likbent triangel

I en likbent triangel är två sidor lika långa, dvs $a = c.$ Två av vinklarna (de sk. basvinklarna) i en likbent triangel är lika stora, vinkeln $x.$ Omvänt gäller också att om två vinklar i en triangel är lika så är motstående sidor till vinklarna också lika.

Exempel: Liksidig Triangel och Likbent Triangel

Triangeln $ABC$ är liksidig och delar sidan $BC$ med triangeln $BCD.$ Vad är sträckan $\boldsymbol{x}$ i triangeln $\boldsymbol{BCD?}$

triangel3

Då triangeln $ABC$ är liksidig så är alla sidor lika långa, dvs $5\, cm.$
Triangeln $BCD$ har två vinklar som är lika stora, $45^o.$ Därmed vet vi att triangeln $BCD$ är likbent, dvs $BC = BD = 5\, cm.$
Den räta linjen $x$ delar $CD$ i två lika stora delar, så att vi får två lika stora rätvinkliga trianglar med basen $\frac{6\: cm}{2}=3 \: cm$ och hypotenusan $= BC = BD = 5\, cm.$

Vi vet att i en rätvinklig triangel gäller Pythagoras sats. Ställer vi upp Pythagoras sats för triangeln $BCD$ får vi:

$(3\: cm)^2 + x^2 = (5 \:cm)^2$

$x^2=25 \: cm^2 - 9 \: cm^2$

$x=\sqrt{16 \: cm^2}=4 \: cm$

Svar: Sträckan $x = 4\, cm.$

Exempel: Triangel 2

Triangeln $ABC$ är rätvinklig. Punkten $M$ delar sträckan $BC$ på mitten. Vad är sträckan $\boldsymbol{AM?}$

triangel6

Vi börjar med att beräkna sträckan $BC$ med Pythagoras sats:

$BC = \sqrt{8^2+6^2}\,cm=\sqrt{100}\,cm=10\, cm.$

Arean $ABC$ kan vi uttrycka på två sätt:

Arean $ABC = \frac{AB \cdot AC}{2}$
Arean $ABC = \frac{BC \cdot AM}{2}$

Ekvation 1 $=$ ekvation 2 ger:

$\frac{AB \cdot AC}{2}=\frac{BC \cdot AM}{2}$

$AM = \frac{AB \cdot AC}{BC}=\frac{6\cdot 8}{10}=4,8\,cm.$

Svar: Sträckan $AM = 4,8\, cm.$

Förhållandet mellan längden på triangelns sidor och storleken på triangelns vinklar

I alla trianglar gäller att:

Triangelns största vinkel är motstående triangelns längsta sida
Triangelns näst största vinkeln är motstående triangelns näst längsta sida
Triangelns minsta vinkeln är motstående triangelns kortaste sida

triangelns sidor och vinklar

Om sidorna i triangelns ovan förhåller sig så att:

$a > b > c$ så gäller att:

Vinkeln $c >$ vinkeln $a >$ vinkeln $b.$

Exempel: Bestäm Triangelns Största Vinkel

Vilken vinkel är störst i triangeln $\boldsymbol{ABC?}$

triangel4

Sidan $AC >$ sidan $AB >$ sidan $BC$ vilket ger att:

Vinkeln $y$ är störst
Vinkeln $z$ är näst störst
Vinkeln $x$ är minst

Svar: Vinkeln $y$ är störst i triangeln.

Yttervinkelsatsen

yttervinkelsatsen

Yttervinkelsatsen säger att en triangels yttervinkel är lika med vinkelsumman av de två motstående inre vinklarna i triangeln, dvs: $$\text{vinkel z}=\text{vinkel x + vinkel y}$$

Exempel: Yttervinkelsatsen

Vad är vinklarna $\boldsymbol{y}$ och $\boldsymbol{z?}$

triangel3

Enligt yttervinkelsatsen:

$z + 50^o = 92^o$

$z = 92^o – 50^o = 42^o$

Vinkel $y$ och vinkel $92^o$ är supplementvinklar:

$y + 92^o = 180^o$

$y = 180^o – 92^o = 88^o$

Svar: $z = 42^o, y = 88^o$

Triangelolikheten

I alla trianglar gäller att:

Längden av en viss sida är mindre än summan av längderna av de övriga sidorna
men större än differensen mellan dessa sidor.

triangelns sidor och vinklar

I triangeln ovan gäller att:

$|b - c| < a < b + c$
$|a - c| < b < a + c$
$|a - b| < c < a + b$

Exempel: Bestäm maxlängd och minlängd av en triangelsida

Vad är längden $\boldsymbol{x}$ största respektive minsta möjliga värde?

triangel5

Enligt triangelolikheten gäller att:

$(12 - 8) \, cm < x < (12 + 8)\, cm$
$4\, cm < x < 20\, cm$

Svar: Största längden $x$ i triangeln är $20\, cm$ och minsta längden $x$ är $4\, cm.$