Hem Interaktiva Övningsprov Lösningar Gamla Högskoleprov Matematiken på Högskoleprovet Om Högskoleprovet Frågor och Svar - FAQ
Allarätt.nu Högskoleprovet Logotype
HÖGSKOLEPROVET

Allarätt.nu Högskoleprovet LogotypeHÖGSKOLEPROVET

Högskoleprovet - Förbered dig till Högskoleprovet på AllaRätt.nu och nå Drömutbildningen!

 

 STARTA ÖVNINGSPROV navigate_next 
    Instagram   
 STARTA ÖVNINGSPROV navigate_next 
geometri_icon

Trianglar på Högskoleprovet

Sammanfattning Trianglar på högskoleprovet

triangel

Allmänt om Trianglar

triangel

Triangeln är en av de grundläggande geometriska formerna. De typer av trianglar som vanligen förekommer i högskoleprovet är:

Gemensamt för alla trianglar är omkrets, area och vinkelsumma: $$Omkrets= a + b + c$$ $$Area= \frac{b \cdot h}{2}$$ $$Vinkelsumma = x + y + z = 180°$$
Exempel: Triangel

Beräkna arean, omkretsen och vinklarna i triangeln ABC.

triangel2

Triangeln ABC är trubbvinklig, eftersom en vinkel är större än 90°, och även likbent, då två sidor är lika långa och de två basvinklarna x är lika stora.

Svar:

Rätvinklig triangel och Pythagoras sats

rätvinklig triangel

Triangar med en rät sida kallas rätvinklig triangel. Enligt Pythagoras sats så gäller att för en rätvinklig triangels sidor är Kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraterna på kateterna. Hypotenusan är den längsta sidan i en rätvinklig triangel och är motstående sida till den räta vinkeln. Katet är benämningen på var och en av de två sidor vilka bildar den räta vinkeln.

Pythagoras sats kan skrivas: $$a^2+b^2=c^2$$

Exempel: Pythagoras Sats

Beräkna hypotenusan i triangeln.

pythagoras sats

Triangeln är rätvinklig och då gäller Pythagoras sats, dvs
$c^2=a^2+b^2$
$c=\sqrt{a^2 + b^2}$
$c=\sqrt{3^2 + 4^2}$
$c=\sqrt{25}=5\:cm$
En triangel med sidolängderna 3, 4, 5 kallas egyptisk triangel.

Svar: Hypotenusan är 5 cm.

Liksidig triangel

liksidig triangel

I en liksidig triangel är alla sidor lika långa, dvs a = b = c, och alla tre vinklar är lika med 60°. Omvänt gäller också att om en triangel har tre lika stora vinklar så är triangeln liksidig.

Likbent triangel

likbent triangel

I en likbent triangel är två sidor lika långa, dvs a = c. Två av vinklarna (de sk. basvinklarna) i en likbent triangel är lika stora, vinkeln x. Omvänt gäller också att om två vinklar i en triangel är lika så är motstående sidor till vinklarna också lika.

Exempel: Liksidig Triangel och Likbent Triangel

Triangeln ABC är liksidig och delar sidan BC med triangeln BCD. Beräkna sträckan x i triangeln BCD.

triangel3

Vi vet att i en rätvinklig triangel gäller Pythagoras sats. Ställer vi upp Pythagoras sats för triangeln BCD får vi:
$(3\: cm)^2 + x^2 = (5 \:cm)^2$
$x^2=25 \: cm^2 - 9 \: cm^2$
$x=\sqrt{16 \: cm^2}=4 \: cm$

Svar: Sträckan x = 4 cm.

Yttervinkelsatsen

yttervinkelsatsen

Yttervinkelsatsen säger att en triangels yttervinkel är lika med vinkelsumman av de två motstående inre vinklarna i triangeln, dvs: $$\text{vinkel z}=\text{vinkel x + vinkel y}$$
Exempel: Yttervinkelsatsen

Bestäm vinklarna y och z.

triangel3

Enligt yttervinkelsatsen:
z + 50° = 92°
z = 92° – 50° = 42°
Vinkel y och vinkel 92° är supplementvinklar:
y + 92° = 180°
y = 180° – 92° = 88°

Svar: z = 42°, y = 88°

Förhållandet mellan längden på triangelns sidor och storleken på triangelns vinklar

I alla trianglar gäller att:

triangelns sidor och vinklar

Om sidorna i triangelns ovan förhåller sig så att
a > b > c så gäller att:
Vinkeln c > vinkeln a > vinkeln b
Exempel: Bestäm Triangelns Största Vinkel

Vilken vinkel är störst i traingeln ABC?

triangel4

Sidan AC > sidan AB > sidan BC vilket ger att:

Svar: Vinkeln y är störst i triangeln.