Likformighet på Högskoleprovet

Sammanfattning Likformighet på Högskoleprovet

Två objekt är likformiga om:

Vinklarna i det ena objektet är lika stora som vinklarna i det andra objektet.
och/eller om förhållandet mellan motsvarande sidor i objekten är detsamma.

I likformiga trianglar är förhållandet mellan motsvarande sidor lika.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Topptriangelsatsen (Fig 1) $\frac{a}{b}=\frac{c}{c+d}$
Transversalsatsen (Fig 2) $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\;\;eller\;\;\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$
Bisektrissatsen (Fig 3) $\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}$

Likformighet och avbildningar

För uppgifter med likformighet kan det vara bra att tänka på avbildningar eller kartor. Att två geometriska figurer (t.ex. trianglar) är likformiga betyder att de har exakt samma form, men inte nödvändigtvis samma storlek. Vi kan dra slutsatsen att två objekt är likformiga om:

Vinklarna i det ena objektet är lika stora som vinklarna i det andra objektet
och/eller om förhållandet mellan motsvarande sidor i objekten är detsamma.

Två objekt som har samma storlek och form, men kan vara olika orienterade är kongruenta.

Exempel: Likformighet 1

Trianglarna ABC och DEF är likformiga. Bestäm sträckan x.

exempel1-likformighet

Vi vet att i likformiga trianglar är förhållandet mellan motsvarande sidor lika, dvs
$\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$
$\frac{3}{4,5}=\frac{x}{6}$
Korsvis multiplikation ger:
$x=\frac{6 \cdot 3}{4,5}=\frac{18}{4,5}=4$

Svar: Sträckan x = 4 längdenheter.

Exempel: Likformighet 2

Trianglarna ABC och DEF är likformiga. Bestäm vinkeln y.

exempel2 likformighet

Vi vet att i likformiga trianglar är vinklarna i den ena triangeln lika stora som vinklarna i den andra triangeln, dvs.
Vinkeln y = vinkeln EDF = 40°

Svar: Vinkeln y = 40°.

Exempel: Likformighet 3

Vad är arean A?

exempel3 likformighet

Vi kallar sidorna i kvadraten a. Den inskrivna kvadraten bildar två mindre trianglar. Båda dessa trianglar är likformiga med den stora triangeln. Triangeln närmast basen i triangeln har basen (4 - a) och höjden a och förhållandet mellan dessa är lika med förhållandet mellan den stora triangelns bas och höjd:

$\frac{4-a}{a}=\frac43 \Rightarrow 3(4-a) = 4a$

$12-3a = 4a \Rightarrow a = \frac{12}{7}$ cm

Arean A = $(\frac{12}{7})^2 = \frac{144}{49}$ cm²

Svar: Arean A = $\frac{144}{49}$ cm²

Topptriangelsatsen

Topptriangelsatsen säger att den topptriangel (CDE i figuren nedan) som bildas av en sk parallelltransversal (DE i figuren) är likformig med hela triangeln (ABC i figuren nedan).

En parallelltransversal är alltså en linje som skär två sidor och är parallell med den tredje.

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{c+d}$$

topptriangelsatsen

Exempel: Topptriangelsatsen

DE är parallell med AB. Beräkna längden av x i triangel ABC.

exempel-topptriangelsatsen2

Enligt topptriangelsatsen är CDE likformig med triangeln ABC, dvs:
$\frac{x}{9}=\frac{3}{3+6}$
$\Rightarrow x=9 \cdot \frac{3}{9}$
$\Rightarrow$ x = 3 längdenheter

Svar: x = 3 längdenheter

Transversalsatsen

Transversalsatsen säger att en parallelltransversal som delar två sidor av en triangel, delar dessa båda sidor i samma förhållande, dvs:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\;\;eller\;\;\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$$

transversalsatsen

Exempel: Transversalsatsen

DE är parallell med AB. Beräkna längden av x.

exempel-transversalsatsen

Enligt transversalsatsen: $\frac{x}{5}=\frac{6}{3}$
$x=\frac{5 \cdot 6}{3}=10$

Svar: x = 10 längdenheter

Bisektrissatsen

En bisektris är en linje som delar en vinkel mitt itu.

bisektrissatsen

Bisektrissatsen säger att en bisektris i en triangel delar den mot vinkeln motstående sidan enligt följande förhållande: $$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}$$

Exempel: Bisektrissatsen

Beräkna längden av x.

exempel-bisektrissatsen

Enligt bisektrissatsen:
$\frac32=\frac{x}{8}$
$x=\frac{8 \cdot 3}{2}=12$

Svar: x = 12 längdenheter

Längdskala, areaskala och volymskala

Skalor beskrivs i avsnittet Omkrets, area och volym. Vid avbildningar och likformighet beskriver skalor förhållanden mellan längd, area och volym. Förhållandet mellan längdskala, areaskala och volymskala definieras enligt följande: $$areaskala = (längdskala)^2$$ $$volymskala = (längdskala)^3$$

Exempel: Areaskala

Arean av T1 = 12 cm². Bestäm arean av T2.

exempel-areaskala

Eftersom vinklarna i T1 är lika med vinklarna i T2 vet vi att T1 och T2 är likformiga.
Längdskalan = $\frac{Sidan \: T2}{Sidan \: T1}=\frac84$ = 2
$areaskalan = (längdskala)^2 = 2^2$ = 4
Arean T2 = areaskalan · arean T1 = 4 · 12 cm² = 48 cm²

Svar: Arean av T2 = 48 cm²