![]() Fig. 1 |
![]() Fig. 2 |
![]() Fig. 3 |
Två objekt som har samma storlek och form, men kan vara olika orienterade är kongruenta.
Trianglarna ABC och DEF är likformiga. Bestäm sträckan x.
Vi vet att i likformiga trianglar är förhållandet mellan motsvarande sidor lika, dvs
$\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$
$\frac{3}{4,5}=\frac{x}{6}$
Korsvis multiplikation ger:
$x=\frac{6 \cdot 3}{4,5}=\frac{18}{4,5}=4$
Trianglarna ABC och DEF är likformiga. Bestäm vinkeln y.
Vi vet att i likformiga trianglar är vinklarna i den ena triangeln lika stora som vinklarna i den andra triangeln, dvs.
Vinkeln y = vinkeln EDF = 40°
Vad är arean A?
Vi kallar sidorna i kvadraten a. Den inskrivna kvadraten bildar två mindre trianglar. Båda dessa trianglar är likformiga med den stora triangeln. Triangeln närmast basen i triangeln har basen (4 - a) och höjden a och förhållandet mellan dessa är lika med förhållandet mellan den stora triangelns bas och höjd:
$\frac{4-a}{a}=\frac43 \Rightarrow 3(4-a) = 4a$
$12-3a = 4a \Rightarrow a = \frac{12}{7}$ cm
Arean A = $(\frac{12}{7})^2 = \frac{144}{49}$ cm2
Svar: Arean A = $\frac{144}{49}$ cm2Topptriangelsatsen säger att den topptriangel (CDE i figuren nedan) som bildas av en sk parallelltransversal (DE i figuren) är likformig med hela triangeln (ABC i figuren nedan).
En parallelltransversal är alltså en linje som skär två sidor och är parallell med den tredje.
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{c+d}$$DE är parallell med AB. Beräkna längden av x i triangel ABC.
Enligt topptriangelsatsen är CDE likformig med triangeln ABC, dvs:
$\frac{x}{9}=\frac{3}{3+6}$
$\Rightarrow x=9 \cdot \frac{3}{9}$
$\Rightarrow$ x = 3 längdenheter
DE är parallell med AB. Beräkna längden av x.
Enligt transversalsatsen:
$\frac{x}{5}=\frac{6}{3}$
$x=\frac{5 \cdot 6}{3}=10$
Beräkna längden av x.
Enligt bisektrissatsen:
$\frac32=\frac{x}{8}$
$x=\frac{8 \cdot 3}{2}=12$
Arean av T1 = 12 cm2. Bestäm arean av T2.
Eftersom vinklarna i T1 är lika med vinklarna i T2 vet vi att T1 och T2 är likformiga.
Längdskalan = $\frac{Sidan \: T2}{Sidan \: T1}=\frac84$ = 2
$areaskalan = (längdskala)^2 = 2^2$ = 4
Arean T2 = areaskalan · arean T1 = 4 · 12 cm2 = 48 cm2