Potensregler på Högskoleprovet

Linjära ekvationer Olikheter Procent och promille Talföljder Räta linjens ekvation Enheter och prefix Omkrets, area och volym Medelvärde, median… Tabeller

Andragradsekvationer Bråk och decimaler Räkneregler Funktioner Fyrhörningar Trianglar Sannolikhet Kartor

Ekvationer i bråkformat Potensregler Rötter Potens-/exponentialfunktioner Cirkeln Likformighet Vinklar och parallella linjer Diagram

Sammanfattning Potensregler på Högskoleprovet

Potensregel	Exempel
$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$	$2^3\cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7=128$
$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$	$\frac{2^5}{2^3}=2^{5-3}=2^2=4$
${({a}^{x})}^{y}={a}^{x\cdot y}$	${({2}^{3})}^{2}={2}^{3\cdot 2}=2^6=64$
${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$	$144=12^2={(3\cdot 4)}^{2}={3}^{2}\cdot {4}^{2}$
$\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$	$\frac{4^3}{2^3}=\left ( \frac{4}{2} \right )^3=2^3=8$
$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$	$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
${a}^{0}=1$	${10}^{0}=1$

Potens, bas och exponent

Talet $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ kan vi skriva $3^4$ och utläses tre upphöjt till fyra. Man säger då att man skriver talet på potensform. Talet tre kallas bas och talet fyra kallas exponent.
$$bas^{exponent}=potens$$

Tiopotenser

Tiopotenser är en potens med basen 10, exempelvis:

$10 = 1 \cdot 10 = 10^1$
$100 = 10 \cdot 10 = 10^2$
$1 000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$

Tiopotenser som är mindre än ett skrivs med negativ exponent. Exempelvis:

En tiondel $= 0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$
En hundradel $= 0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$
En tusendel $= 0,001 = \frac{1}{1000} = 10^{-3}$

Grundpotensform är ett sätt att skriva tal på formen $a \cdot 10^n.$ Exempelvis $\text{42 000} = 4,2 · 10^4.$

Potensreglerna

De sju potensreglerna använder vi för att beräkna uppgifter med potenser. Var alltid noggrann med att kontrollera förutsättningarna för att använda potensreglerna, exempelvis att du har samma bas då du multiplicerar potenser:

Multiplikation av potenser: $a^x\cdot a^y = a^{x+y}$
Division av potenser: $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
Potens av potenser: ${({a}^{x})}^{y}={a}^{x\cdot y}$
Potens av en produkt: ${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$
Potens av en kvot: $\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$
Potens med negativ exponent: $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$
Potens med exponenten noll: ${a}^{0}=1$

Multiplikation av potenser

För potenser som har samma bas gäller potensregeln
$a^x \cdot a^y = a^{x + y}$

Exempel: Multiplikation av Potenser 1

Beräkna $\boldsymbol{4^2 \cdot 4^3}$

$4^2 \cdot 4^3 = 4^{2+3}=4^{5}$

Svar: $4^5$

Exempel: Multiplikation av Potenser 2

Skriv $\boldsymbol{(4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4)}$ på potensform

$(4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4) = 4^2 \cdot 4^3 = 4^{2+3}=4^5$

Svar: $4^5$

Division av potenser

Vid division av potenser som har samma bas gäller: $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y},$ där $a \ne 0.$

Exempel: Division av Potenser 1

Beräkna $\boldsymbol{\frac{6^4}{6^2}}$

$\frac{6^4}{6^2}=6^{4-2}=6^2$

Svar: $6^2$

Exempel: Division av Potenser 2

Skriv om $\boldsymbol{\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6}}$ på potensform

$\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{6^4}{6^2} = 6^{4-2}=6^2$

Svar: $6^2$

Potens av potenser

Potens av en potens kan skrivas $(a^x)^y=a^{x\cdot y}$

Exempel: Potens av en Potens

Beräkna $\boldsymbol{(7^2)^3}$

$(7^2)^3=7^{2\cdot 3}=7^6$

Svar: $7^6$

Potens av en produkt

Potens av en produkt kan skrivas $(a \cdot b)^x=a^x \cdot b^x$

Exempel: Potens av en Produkt

Beräkna $\boldsymbol{(7 \cdot 6)^3}$

$(7 \cdot 6)^3 = 7^3 \cdot 6^3$

Svar: $7^3 \cdot 6^3$

Potens av en kvot

Potens av en kvot kan skrivas $\left(\frac{a}{b}\right)^x$

Exempel: Potens av en Kvot

Beräkna $\boldsymbol{\left(\frac{7}{5}\right)^3}$

$\left(\frac{7}{5}\right)^3=\frac{7^3}{5^3}$

Svar: $\frac{7^3}{5^3}$

Potens med negativ exponent

En potens med negativ exponent kan skrivas $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$, där $a \ne 0$.

$(-1)^x$ är negativt när $x$ är ett udda heltal och positivt när $x$ är ett jämnt heltal. Exempelvis är $(-1)^3=-1$ och $(-1)^2=1$. Det här kan vi enkelt se genom att skriva ut potenserna som multiplikation:

$(-1)^3=(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1$
$(-1)^2=(-1)\cdot(-1)=1$

Det är viktigt att känna till skillnaden eftersom uppgifter på Högskoleprovet kan testa hur negativa tal och potenser ska tolkas.

Observera skillnaden mellan $(-1)^2=1$ och $-1^2=-(1^2)=-1$, eftersom potensen beräknas före minustecknet när parentes saknas.

Exempel: Potens med Negativ Exponent

Skriv talet $\boldsymbol{4^{-3}}$ som en kvot

$4^{-3} = \frac{1}{4^3}$

Svar: $\frac{1}{4^3}$

Exempel: Potens med Negativ Exponent 2

Vilket svarsalternativ motsvarar $\boldsymbol{\frac{3}{3^x}?}$

$3^{x-1}$
$3^{x+1}$
$3^{1-x}$
$3^{-1-x}$

$\frac{3}{3^x}=3\cdot3^{-x}=3^1\cdot3^{-x}=3^{1-x}$

Svar: C. $3^{1-x}$

Exempel: Potens med Negativ Exponent 3

Vad är $\boldsymbol{-1^3(-1^8-(-1^{-9}))?}$

${-1^3(-1^8-(-1^{-9})})=$

$=-1(1-(-1))=-1(1+1)=-2$

Svar: $-2$

Potens med exponenten noll

Potenser med exponenten noll är lika med ett:
$a^0= 1$ där $a\ne0.$

Bestäm exponenter i tal med olika bas

Viktigt att tänka på är vilka förutsättningar som finns för att använda potensreglerna. En vanlig uppgift består i att bestämma exponenterna $x$ och $y$ för olika baser. Ibland kan vi lösa dessa uppgifter genom att byta bas, vilket vi visar i nästa uppgift.

Exempel: Bestäm exponenter i tal med olika bas

$2^x \cdot 4^y = 16$
Vad är $\boldsymbol{x+2y ?}$

Vi vill utnyttja potensreglerna, men först måste vi göra om alla ingående tal till samma bas:

Enligt potensreglerna: $2^x \cdot 4^y = 2^x \cdot 2^{2y} = 2^4$

Nu har vi samma bas och kan då sätta exponenterna lika med varandra:

$x+2y=4$

Vid multiplikation och division av potenser måste potenserna ha samma bas för att exponenterna ska kunna adderas respektive subtraheras.

Svar: $x + 2y = 4$

Exempel: Bestäm exponenter i tal med olika bas 2

$3x - y = 12$
Vad är $\boldsymbol{\large{\frac{8^x}{2^y}}?}$

Enligt potensreglerna:

$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$ och $\frac{1}{2^y}=2^{-y}$

$\large{\frac{8^x}{2^y} = \frac{2^{3x}}{2^y}=2^{3x-y}=2^{12}}$

Svar: $2^{12}$

Potensreglerna, summering

Potensregel	Skrivs som
Multiplikation av potenser	$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$
Division av potenser	$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
Potens av en potens	${({a}^{x})}^{y}={a}^{x\cdot y}$
Potens av en produkt	${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$
Potens av en kvot	$\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$
Potens med negativ exponent	$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$
Potens med exponenten noll	${a}^{0}=1$