Omkrets, area och volym på Högskoleprovet

Sammanfattning Omkrets, area och volym på Högskoleprovet

Se slutet på kapitlet för formelsamling om de vanligaste geometriska objekten.
Skalor:

$\text{areaskala} = (\text{längdskala})^2$
$\text{volymskala} = (\text{längdskala})^3$

Omkrets och area

En figurs omkrets är den sammanlagda längden av de linjer och/eller kurvor som avgränsar figuren. Area är ett mått på hur stor figurens yta är. I slutet på kapitlet listar vi formler för omkrets, area och volym för ett antal vanliga geometriska objekt.

Omvandlingstabell för Längd

km	m	dm	cm	mm
1 km	1 000	10⁴	10⁵	10⁶
	1 m	10	100	1 000
		1 dm	10	100
			1 cm	10

Omvandlingstabell för Area

km²	m²	dm²	cm²	mm²
1 km²	10⁶	10⁸	10¹⁰	10¹²
	1 m²	100	10⁴	10⁶
		1 dm²	100	10⁴
			1 cm²	100

Exempel: Area och Omkrets 1

Camp Nou är hemmaarena för fotbollslaget Barcelona FC. Långsidan på Camp Nou är 105 meter och arean är 7 140 m². Beräkna omkretsen av Barcelonas hemmaplan.

area-och-omkrets1

Fotbollsplanen har formen av en rektangel med Arean = Längden · Kortsidan
$\Rightarrow$ Kortsidan=$\frac{Arean}{Långsidan}=\frac{7140}{105}$ = 68 m
Omkretsen av planen =
= 2(Långsidan + Kortsidan) =
= 2(105 + 68) = 2 · 173 = 346 m.

Svar: Omkretsen av fotbollsplanen är 346 meter.

Exempel: Area och Omkrets 2

Omkretsen av en parallellogram = 200 cm. En av sidorna = x cm. Beräkna den andra sidan.

area-och-omkrets2

Vi kallar sidorna i vår parallellogram = x och y och vi söker y.
Omkretsen av en parallellogram = 2(x + y) = 200 cm
Delar vi med 2 på bägge sidor om likhetstecknet får vi:
x + y = 100 vilket ger att y = (100 - x) cm.

Svar: Sidan = (100 - x) cm.

Exempel: Area och Omkrets 3

Lufttrycket i en fotboll ska vara 1 kg/cm². Hur mycket luft behövs för att fylla en fotboll med omkretsen 50 cm?

area-och-omkrets3

Vi antar att en fotboll har formen av ett klot. Då är arean = $4\pi r^2$
Omkretsen av ett klot = Omkretsen av en cirkel = $\pi d$
Vilket ger att d = $\frac{50}{\pi}$ och r = $\frac{25}{\pi}$ ≈ 8 cm.
r insatt i formeln för area ger:
$4\pi \cdot 8^2= 256 \pi$ ≈ 804 cm²
Lufttrycket = 1 kg/cm² · 804 cm² = 804 kg.

Svar: Det behövs 804 kg luft för att fylla fotbollen.

Vikt och Volym

Volym är ett mått på hur mycket något rymmer. Volym används inom fysiken för att bestämma mängden vätska, gas eller solid. Grundenheten för volym är kubikmeter, m³. 1 kubikmeter = 1 000 liter, l. Enheten liter används ofta i vardagen, exempelvis 1 l mjölk. 1 l är också lika med 1 kubikdecimeter, dm³.

Deciliter (dl) är en tiondels liter och ofta används i matlagning, exempelvis går det åt 3 dl mjöl till en pannkakssats. Centiliter, cl är en kundradels liter, en burk läsk rymmer exempelvis 33 cl. Milliliter, ml är en tusendels liter och en liten enhet, exempelvis 10 ml hostmedicin. 1 ml är också lika med 1 kubikcentimeter, cm³.

Omvandlingstabell för Vikt

ton	kg	hg	g	mg
1 ton	1 000	10⁴	10⁶	10⁹
	1 kg	10	1 000	10⁶
		1 hg	100	10⁵
			1 g	1 000

Omvandlingstabell för Volym

m³	l/dm³	dl	cl	ml/cm³
1 m³	1 000	10⁴	10⁵	10⁶
	1 l/dm³	10	100	1 000
		1 dl	10	100
			1 cl	10

Exempel: Enheter för volym

Skriv dessa volymer i liter (l):

2,5 dm³ + 5 dl
0,25 m³
250 cl + 250 cm³

Svar:

1 dm³ = 1 l. $\Rightarrow$ 2,5 dm³ = 2,5 · 1 l = 2,5 l.
1 dl = 0,1 l $\Rightarrow$ 5 dl = 5 · 0,1 l = 0,5 l.
$\Rightarrow$ 2,5 dm³ + 5 dl = (2,5 + 0,5) l = 3 l.
1 m³ = 1 000 l $\Rightarrow$ 0,25 m³ = (0,25 · 1 000) l = 250 l.
1 cl = 0,01 l $\Rightarrow$ 250 cl = (250 · 0,01) l = 2,5 l.
1 cm³ = 0,001 l. $\Rightarrow$ 250 cm³ = (250 · 0,001) l = 0,25 l.
$\Rightarrow$ 250 cl + 250 cm³ = (2,5 + 0,25) l = 2,75 l.

Skalor

Längdskala

Då vi gör en avbildning av ett föremål på exempelvis ett papper i naturlig storlek är avbildningen lika stor i verkligheten som på pappret. Detta betecknas 1:1. I kartor behöver vi ofta göra förminskningar.

En förminskning där 1 cm på kartan motsvarar 1 m i verkligheten betecknar vi 1:100.
En förminskning där 1 cm på kartan motsvarar 100 m i verkligheten betecknar vi 1:10 000.

Då en avbildning görs större på pappret än vad den är i verkligheten gör vi en förstoring.

En förstoring där 1 cm på en ritning motsvarar 5 cm i verkligheten betecknar vi 5:1.
En förstoring där 1 mm på en ritning motsvarar 10 cm i verkligheten betecknar vi 100:1.

Exempel: Längdskala

På en karta med skalan 1:5 000 000 är avståndet mellan Kalmar och Stockholm ca. 8 cm. Hur långt är det mellan de två städerna i verkligheten?

längdskala

Skalan 1:5 000 000 innebär att 1 cm på kartan motsvarar 5 000 000 cm i verkligheten. 5 000 000 cm = 50 000 m = 50 km. $\Rightarrow$ 8 cm på kartan = 8 · 50 km = 400 km = 40 mil.

Svar: Avståndet mellan Kalmar och Stockholm är ca. 40 mil.

Areaskala och volymskala

På samma sätt som längdskala beskriver areaskala och volymskala förhållandet mellan en avbildning och verkligheten. Förhållandet mellan längdskala, areaskala och volymskala definieras enligt följande: $$areaskala = (längdskala)^2$$ $$volymskala = (längdskala)^3$$ Om vi studerar enheterna för längd, area och volym finner vi det logiskt med formlerna för omräkning. Grundenheten för längd är meter, för area meter² och för volym meter³.

Exempel: Längdskala, Areaskala och Volymskala

En kub har volymen 64 cm³ och arean 16 cm². Bestäm arean och volymen av kuben om alla sidor halveras.

Att halvera sidorna motsvarar i längdskala 1:2. Enligt formeln för areaskala och längdskala är areaskalan efter sidohalvering = $(\frac12)^2=\frac14$, dvs 1:4. Arean efter att sidorna halverats = $16\cdot\frac14=4\; cm^2$. På samma är volymskalan efter sidohalvering = $(\frac12)^3=\frac18$, dvs 1:8 vilket ger en volym = $64\cdot\frac18=8\;cm^3$.

Svar: Efter att sidorna halveras är arean = 4 cm² och volymen = 8 cm³.

Högskoleprovets Formelsamling

Objekt	Omkrets och Area
	Kvadrat $Omkrets = 4s$ $Area=s^2$
	Rektangel $Omkrets = 2(b + h)$ $Area=bh$
	Triangel $Omkrets = a + b + c$ $Area=\frac{bh}2$
	Rätvinklig Triangel Pythagoras sats: $a^2+b^2=c^2$
	Parallellogram $Omkrets = 2(a + b)$ $Area = bh$
	Parallelltrapets $Omkrets = a + b + c + d$ $Area=\frac{h(a+b)}2$
	Cirkel $Omkrets = \pi d$ $Area=\pi r^2=\frac{\pi d^2}4$
	Cirkelsektor $Bågen\:b = \frac{\alpha}{360} \cdot 2 \pi r$ $Area=\frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2=\frac{br}2$
	Kub $Volym =l^3$
	Rätblock $Volym =b \cdot l \cdot h$
	Prisma $Volym =Bh$
	Rak Cirkulär Cylinder $Mantelarea = 2\pi rh$ $Volym=\pi r^2 h$
	Pyramid $Volym = \frac{B h}3$
	Rak Cirkulär Kon $Mantelarea = \pi r s$ $Volym=\frac{\pi r^2 h}{3}$
	Klot $Area = 4 \pi r^2$ $Volym=\frac{4 \pi r^3}3$
	Skala $\text{Areaskala} = (\text{Längdskala})^2$ $\text{Volymskala} = (\text{Längdskala})^3$