Omkrets, area och volym på Högskoleprovet

Sammanfattning Omkrets, area och volym på Högskoleprovet

Se slutet på kapitlet för formelsamling om de vanligaste geometriska objekten.
Skalor:

$\text{areaskala} = (\text{längdskala})^2$
$\text{volymskala} = (\text{längdskala})^3$

Omkrets och area

En figurs omkrets är den sammanlagda längden av de linjer och/eller kurvor som avgränsar figuren. Area är ett mått på hur stor figurens yta är. I slutet på kapitlet listar vi formler för omkrets, area och volym för ett antal vanliga geometriska objekt.

Omvandlingstabell för Längd

km	m	dm	cm	mm
1 km	1 000	10⁴	10⁵	10⁶
	1 m	10	100	1 000
		1 dm	10	100
			1 cm	10

Omvandlingstabell för Area

km²	m²	dm²	cm²	mm²
1 km²	10⁶	10⁸	10¹⁰	10¹²
	1 m²	100	10⁴	10⁶
		1 dm²	100	10⁴
			1 cm²	100

Exempel: Area och Omkrets 1

Camp Nou är hemmaarena för fotbollslaget Barcelona FC. Långsidan på Camp Nou är $\text{105 m}$ och arean är $\text{7 140 m^2.}$ Beräkna omkretsen av Barcelonas hemmaplan.

area-och-omkrets1

Fotbollsplanen har formen av en rektangel med Arean $=$ Längden $\cdot$ Kortsidan.

$\Rightarrow$ Kortsidan=$\frac{Arean}{Långsidan}=\frac{7140\,m^2}{105\,m} = 68\, m.$

Omkretsen av planen $=$

$= 2($Långsidan $+$ Kortsidan$) =$

$= 2(105 + 68) = 2 \cdot 173 = 346\, m.$

Svar: Omkretsen av fotbollsplanen är $346\,m.$

Exempel: Area och Omkrets 2

Omkretsen av en parallellogram $= 200\, cm.$ En av sidorna $= x\, cm.$ Beräkna den andra sidan.

area-och-omkrets2

Vi kallar sidorna i vår parallellogram $= x$ och $y$ och vi söker $y.$

Omkretsen av en parallellogram $= 2(x + y) = 200\, cm.$

Delar vi med $2$ på bägge sidor om likhetstecknet får vi:

$x + y = 100$ vilket ger $y = (100 - x)\, cm.$

Svar: Sidan $= (100 - x)\, cm.$

Exempel: Area och Omkrets 3

$AB = BC = CD = DE = 4$ längdenheter
$AF = FG = GH = 5$ längdenheter

Hur lång är sträckan $\boldsymbol{BH?}$

area-och-omkrets2

Det finns flera sätt att lösa uppgiften. Enklast är att utgå från en gemensam refernspunkt, exempelvis $A$ och räkna skillnaden i sträckan mellan $AB$ och $AH:$

$BH = AH-AB=3\cdot5-4=15-4=11$ längdenheter.

Svar: Sträckan $BH=11$ längdenheter.

Vikt och Volym

Volym är ett mått på hur mycket något rymmer. Volym används inom fysiken för att bestämma mängden vätska, gas eller solid. Grundenheten för volym är kubikmeter, $m^3$. 1 kubikmeter $= 1 000$ liter, $l.$ Enheten liter används ofta i vardagen, exempelvis $1\, l$ mjölk. $1\, l$ är också lika med $1\,cm^3.$

Deciliter (dl) är en tiondels liter och ofta används i matlagning, exempelvis går det åt $3\, dl$ mjöl till en pannkakssats. Centiliter, cl är en hundradels liter, en burk läsk rymmer exempelvis $33\, cl.$ Milliliter, ml är en tusendels liter och en liten enhet, exempelvis $10\, ml$ hostmedicin. $1\, ml$ är också lika med $1 \,cm^3$.

Omvandlingstabell för Vikt

ton	kg	hg	g	mg
1 ton	1 000	10⁴	10⁶	10⁹
	1 kg	10	1 000	10⁶
		1 hg	100	10⁵
			1 g	1 000

Omvandlingstabell för Volym

m³	l/dm³	dl	cl	ml/cm³
1 m³	1 000	10⁴	10⁵	10⁶
	1 l/dm³	10	100	1 000
		1 dl	10	100
			1 cl	10

Exempel: Enheter för vikt

Skriv dessa volymer i kilogram (kg):

$1,2\,ton$
$22\,hg + 800\,g$
$12^6\,mg$

Svar:

$1\, ton = 1000\,kg \Rightarrow 1,2\,ton=1200\,kg.$
$10\, hg = 1 \, kg \Rightarrow 22\,hg=2\,kg+200\,g.$
$1000\,g=1\,kg \Rightarrow (200+8000)\,g=1000\,=1\,kg.$
$22\,hg + 800\,g=3\,kg.$
$10^6\,mg=1\,kg\Rightarrow 12^6\,mg=12\,kg.$

Exempel: Enheter för volym

Skriv dessa volymer i liter (l):

$2,5\, dm^3 + 5\, dl$
$0,25\, m^3$
$250\, cl + 250\, cm^3$

Svar:

$1\, dm^3 = 1\, l. \Rightarrow 2,5\, dm^3 = 2,5 \cdot 1 l = 2,5\, l.$
$1\, dl = 0,1\, l \Rightarrow 5\, dl = 5 \cdot 0,1\, l = 0,5\, l.$
$\Rightarrow 2,5\, dm^3 + 5\, dl = (2,5 + 0,5)\, l = 3\, l.$
$1\, m^3 = 1 000\, l \Rightarrow 0,25\, m^3 = $
$(0,25 \cdot 1 000)\, l = 250\, l.$
$1\, cl = 0,01\, l \Rightarrow 250\, cl = (250 \cdot 0,01)\, l = 2,5\, l.$
$1\, cm^3 = 0,001\, l. \Rightarrow 250\, cm^3 = (250 \cdot 0,001)\, l = 0,25\, l.$
$\Rightarrow 250\, cl + 250\, cm^3 = (2,5 + 0,25)\, l = 2,75\, l.$

Exempel: Volymen av en kon

Vad är volymen av en kon med höjden $\boldsymbol{8\,dm}$ och radien $\boldsymbol{3\,dm}?$

Volymen $V$ av en kon $=\frac{\pi r^2 h}{3}$

$V=\frac{\pi 3^2 \cdot 8}{3}=24\pi\,dm^3$

Svar: Volymen $=24\pi\,dm^3$

Skalor

Längdskala

Då vi gör en avbildning av ett föremål på exempelvis ett papper i naturlig storlek är avbildningen lika stor i verkligheten som på pappret. Detta betecknas $1:1.$ I kartor behöver vi ofta göra förminskningar.

En förminskning där $1\, cm$ på kartan motsvarar $1\, m$ i verkligheten betecknar vi $1:100.$
En förminskning där $1\, cm$ på kartan motsvarar $100\, m$ i verkligheten betecknar vi $1:10 000.$

Då en avbildning görs större på pappret än vad den är i verkligheten gör vi en förstoring.

En förstoring där $1\, cm$ på en ritning motsvarar $5\, cm$ i verkligheten betecknar vi $5:1.$
En förstoring där $1\, mm$ på en ritning motsvarar $10\, cm$ i verkligheten betecknar vi $100:1.$

Exempel: Längdskala

På en karta med skalan $\text{1:5 000 000}$ är avståndet mellan Kalmar och Stockholm ca. $8\, cm.$ Hur långt är det mellan de två städerna i verkligheten?

längdskala

Skalan $\text{1:5 000 000}$ innebär att $1\, cm$ på kartan motsvarar $\text{5 000 000}\, cm$ i verkligheten. $\text{5 000 000}\, cm = \text{50 000}\, m = 50\, km.$

$\Rightarrow 8\, cm$ på kartan $= 8 \cdot 50\, km = 400\, km = 40\, mil.$

Svar: Avståndet mellan Kalmar och Stockholm är ca. $40\, mil.$

Areaskala och volymskala

På samma sätt som längdskala beskriver areaskala och volymskala förhållandet mellan en avbildning och verkligheten. Förhållandet mellan längdskala, areaskala och volymskala definieras enligt följande: $$areaskala = (längdskala)^2$$ $$volymskala = (längdskala)^3$$

Om vi studerar enheterna för längd, area och volym finner vi det logiskt med formlerna för omräkning. Grundenheten för längd är meter, för area $meter^2$ och för volym $meter^3.$

Exempel: Längdskala, Areaskala och Volymskala

En kub har volymen $64\, cm^3$ och arean $16\, cm^2.$ Bestäm arean och volymen av kuben om alla sidor halveras.

Att halvera sidorna motsvarar i längdskala $1:2.$ Enligt formeln för areaskala och längdskala är areaskalan efter sidohalvering $= (\frac12)^2=\frac14,$ dvs $1:4.$

Arean efter att sidorna halverats $= 16\cdot\frac14=4\; cm^2.$

På samma vis är volymskalan efter sidohalvering $= (\frac12)^3=\frac18$, dvs $1:8$ vilket ger en volym $= 64\cdot\frac18=8\;cm^3$.

Svar: Efter att sidorna halveras är arean $= 4\, cm^2$ och volymen $= 8\, cm^3.$

Högskoleprovets Formelsamling

Objekt	Omkrets och Area
	Kvadrat $Omkrets = 4s$ $Area=s^2$
	Rektangel $Omkrets = 2(b + h)$ $Area=bh$
	Triangel $Omkrets = a + b + c$ $Area=\frac{bh}2$
	Rätvinklig Triangel Pythagoras sats: $a^2+b^2=c^2$
	Parallellogram $Omkrets = 2(a + b)$ $Area = bh$
	Parallelltrapets $Omkrets = a + b + c + d$ $Area=\frac{h(a+b)}2$
	Cirkel $Omkrets = \pi d$ $Area=\pi r^2=\frac{\pi d^2}4$
	Cirkelsektor $Bågen\:b = \frac{\alpha}{360} \cdot 2 \pi r$ $Area=\frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2=\frac{br}2$
	Kub $Volym =l^3$
	Rätblock $Volym =b \cdot l \cdot h$
	Prisma $Volym =Bh$
	Rak Cirkulär Cylinder $Mantelarea = 2\pi rh$ $Volym=\pi r^2 h$
	Pyramid $Volym = \frac{B h}3$
	Rak Cirkulär Kon $Mantelarea = \pi r s$ $Volym=\frac{\pi r^2 h}{3}$
	Klot $Area = 4 \pi r^2$ $Volym=\frac{4 \pi r^3}3$
	Skala $\text{Areaskala} = (\text{Längdskala})^2$ $\text{Volymskala} = (\text{Längdskala})^3$