HÖGSKOLEPROVET
Medelvärde (Eng. mean), median och typvärde (Eng. mode) är exempel på så kallade lägesmått. Variationsbredd (Eng. range) är exempel på spridningsmått. Lägesmått beskriver genomsnittet, det mittersta eller det vanligaste värdet i ett urval. Spridningsmått används för att beskriva hur stor skillnaden är mellan värden i ett urval och avståndet av medelvärdet och våra största respektive minsta värden.
I ett symmetriskt urval (exempelvis i en perfekt normalfördelning) är medelvärde, median och typärde samma. Ofta representeras dock inte verkligheten av perfekta normalfördelningar. Man kallar då urvalet skevt vilket innebär att centrum av fördelningen endera är närmare urvalets minsta värde (negativ skevhet) eller dess största värde (positiv skevhet).
För att beskriva urvalet av de sju värdena ovan bestämmer vi tre lägesmått och ett spridningsmått:
Ibland är medelvärdet ett dåligt mått och den sk. medianen fungerar bättre. Medianen är det värde för ett ordnat datamaterial som delar materialet i två lika stora delar.
Medianen av ett udda antal tal =
Det mittersta talet om de ordnas i storleksordning.
Medianen av ett jämnt antal tal =
Medelvärdet av de två mittersta talen om de ordnas i storleksordning.
Typvärde (Eng. mode) är ett lägesmått på samma sätt som medelvärde och median. Typvärdet är det värde som förekommer flest gånger i dataserien. Om alla värden i dataserien är olika finns inget typvärde (typvärde saknas). Om två eller fler värden förekommer oftare än andra värden finns flera typvärden. En dataserie med två typvärden kallas bimodal, med tre typvärden trimodal och med fler än tre typvärden multimodal.
Typvärde = Det värde som förekommer flest gånger
Variationsbredd (Vb) = Maxvärdet - Minvärdet
Kalle mätte nederbörden regn under en vecka. Vad är medelvärdet, medianen, typvärdet och variationsbredden av nederbörd per dag?
| Dag | Nederbörd |
|---|---|
| Måndag | 6 mm |
| Tisdag | 17 mm |
| Onsdag | 6 mm |
| Torsdag | 6 mm |
| Fredag | 2 mm |
| Lördag | 7 mm |
| Söndag | 12 mm |
På vårterminen hade klassen fem prov. Medelvärdet på de tre första proven var $70$ poäng och på alla fem proven $80$ poäng. Vad var medelvärdet på prov fyra och fem?
Vi kallar medelvärdet på proven $p1, p2, p3, p4$ och $p5.$ Vi söker medelvärdet av prov fyra och fem, dvs $\frac{p4+p5}{2}$
Medelvärdet på de tre första proven kan vi skriva $\frac{p1+p2+p3}{3}=70\,p$ och medelvärdet på alla fem proven $\frac{p1+p2+p3+p4+p5}{5}=80\,p$
Därmed kan vi skriva $\frac{p4+p5}{2}=\frac{5\cdot 80 - 3\cdot70}{2}=\frac{190}{2} = 95\, p.$
Svar: Medelvärdet på prov fyra och fem är $95\, p.$En klass med $x$ elever fick medelvärdet $20\, p$ på ett prov och en klass med $y$ elever fick $28\, p$ på samma prov. Tillsammans fick de två klasserna provmedelvärdet $22\, p.$ Vad är $\boldsymbol{\frac{x}{y}?}$
Vi kallar summan av klassernas provresultat $A$ respektive $B.$
I texten får vi tre ekvationer:
Ekvation ett ger $A = 20x$ och ekvation två ger $B = 28y$
Ekvation ett och två insatt i tre ger: $\frac{20x + 28y}{x+y}=22$
$20x + 28y = 22x + 22y$
$6y=2x \Rightarrow \frac{x}{y}=3$
Svar: $\frac{x}{y}=3$Medelvärdet av fyra tal är $14$ med variationsbredden $20.$ Det största talet tas bort. Variationsbredden är nu noll. Vilket tal togs bort?
Variationsbredden noll säger oss att talen som är kvar är lika stora. Vi kallar dessa tre tal $x$ och talet som togs bort $y,$ vilket ger oss två ekvationer:
Ekvation ett: $x+y=4\cdot 14=56 \Rightarrow x = 56-y$ insatt i ekvation två:
$y-\frac{56-y}{3}=20$
$3y-56+y=60$
$4y=60+56=116 \Rightarrow y = \frac{116}{4}=29$
Svar: Talet $29$ togs bort.
I en kortgiv är medelvärdet av de första fyra korten $4$ med typvärdet $2.$ Då ett femte kort dras ändras typvärdet till $2$ och $4.$ Vilka är korten?
För att vi ska ha ett typvärde måste minst ett tal förekomma fler än en gång, dvs vi har minst två tvåor från början.
Då det femte kortet dras ändras typvärdet till två och fyra. Vi kan därför dra slutsatsen att vi från början har två tvåor, en fyra och ett okänt kort som vi kallar $x.$
Det femte kortet är ytterligare en fyra, vilket gör att vi nu har två typvärden.
Med hjälp av medelvärdet av de fyra första korten beräknar vi $x:$
$\frac{2+2+4+x}{4}=4$
$2+2+4+x=16$
$x=16-(2+2+4)=8$
Svar: Korten är $2, 2, 4, 8, 4$