HÖGSKOLEPROVET
| Rotregel | Exempel |
|---|---|
| $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$ | $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{36}=6$ |
| $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ | $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac32$ |
| $a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^nb}$ | $2\sqrt{2}=\sqrt{2^22}=\sqrt{8}$ |
| $x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$ | $8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = 2^2=4$ |
Kvadratroten ur talet $x$ betecknas $\sqrt{x}$ och läses kvadratroten ur $x$ eller bara roten ur $x.$ Exempelvis $\sqrt{4}=2$ eftersom $2 \cdot 2 = 4.$
Eftersom $\sqrt{x} = x^{1/2}$, vilket är en potens med basen $x$ och exponenten $1/2,$ så gäller potenslagarna även för rötter:
Använd multiplikationstabellen för att lära dig vanligt förekommande rötter, exempel:
Du kan även använda multiplikationstabellen för att kontrollera om du gjort rätt antagande om värdet av roten ur ett tal. $\sqrt{2}\approx 1,4$ eftersom $1,4^2 = 1,96 \approx 2.$
Vad är $\boldsymbol{\sqrt{64 \cdot 81}?}$
$\sqrt{64 \cdot 81} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{81} = 8 \cdot 9 = 72$
Svar: $\sqrt{64 \cdot 81} = 72$Vad är $\boldsymbol{\frac{\sqrt75}{\sqrt3}?}$
$\frac{\sqrt75}{\sqrt3}=\sqrt{\frac{75}3}=\sqrt{25}=5$
Svar: $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}=5$Vilken kvantitet är störst?
I. $\sqrt{27} - \sqrt{12}$
II. $\sqrt{3}$
För kvantitet I utnyttjar vi rotreglerna och skriver:
$\sqrt{27} - \sqrt{12} = \sqrt{9 \cdot 3} - \sqrt{4 \cdot 3} =$
$\sqrt{9} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}=$
$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}=$
$=\sqrt{3}(3-2)=\sqrt{3}$
Svar: Kvantitet I = kvantitet IIUtnyttja de rötter du kan för att lösa uppgifter med rötter du inte kan.
Vad är $\boldsymbol{\sqrt{13}?}$
$\sqrt{13}$ är större än $\sqrt{9}=3$ och mindre än $\sqrt{16}=4$.
$13$ ligger ganska nära mitten av $9$ och $16,$ men något närmare $16.$
Vi provar $3,6$ och beräknar $3,6^2=12,96$. Dvs. $\sqrt{13}\approx3,6$
Svar: $\sqrt{13}\approx3,6$Primtalsfaktorisering är användbart även för att beräkna rötter, vilket vi visar i nästa exempel.
Vad är $\boldsymbol{\sqrt{2916}?}$
$2916$ är ett jämnt tal som vi kan dela två gånger och får då $729.$
$729$ är jämnt delbart med tre $(7 + 2 + 9 = 18)$ och $\frac{729}{3}=243.$
$243$ är jämnt delbart med tre $(2 + 4 + 3 = 9)$ och $\frac{243}{3}=81.$
$81$ känner vi igen från nians tabell som $81=9 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3.$
Dvs. $2916 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
$ = 4 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9$
Vi drar roten ur bägge led vilket ger $\sqrt{2916}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{9}$
$=2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 54$
Svar: $\sqrt{2916}=54$Kubikroten ur ett tal $x$ betecknas $\sqrt[3]{x}$ och läsas kubikroten ur $x$ eller tredjeroten ur $x.$ Exempelvis $\sqrt[3]{1000}=10$ eftersom $10^3 = 1000.$
Till skillnad från kvadratrötter är kubikrötter även definierade för negativa tal. Exempelvis är $\sqrt[3]{-8}=-2$ eftersom $-2^3 = -2^3 = -8.$
Allmänt gäller att $\sqrt[a]{b}={b}^{{}^{\frac{1}{a}}}$. Exempelvis är $\sqrt[4]{10000}=10000^{\frac{1}{4}}=10$ eftersom $10^4 = 10 000.$ Även för kubikrötter och högre ordningens rötter gäller potenslagarna:
Vad är $\boldsymbol{8^{\frac{2}{3}}?}$
I potensen $8^{\frac{2}{3}}$ så är basen 8 och exponenten $\frac23$. Den här uppgiften kan vi beräkna endera genom att använda oss av potenslagen för multiplikation eller potenslagen för exponenter med bråk:
Potenslagen för multiplikation: $8^{\frac{2}{3}}=8^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{8} = 2 \cdot 2=4$
Potenslagen för exponenter med bråk: ${8}^{{}^{\frac{2}{3}}}=\sqrt[3]{8^2} = (\sqrt[3]{8})^2=2^2=4$
Svar: $8^{\frac{2}{3}}=4$Vad är $\boldsymbol{\sqrt[3]{27}\cdot27^{-1/3}?}$
Vi kan endera skriva om talet med negativ exponent som ett bråk eller utnyttja potenslagen för multiplikation:
Vi skriver om talet som ett bråk: $\sqrt[3]{27}\cdot27^{-1/3}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{27}}=1$
Vi utnyttjar potenslagen för multiplikation: $\sqrt[3]{27}\cdot27^{-1/3}=27^{1/3+-1/3}=27^0=1$
Svar: $\sqrt[3]{27}\cdot27^{-1/3}=1$Vad är $\boldsymbol{\large{\boldsymbol{\frac{\sqrt[3]{729}}{\sqrt[3]{27}}?}}}$
Med våra räkneregler till hjälp vet vi att både $729$ och $27$ är jämnt delbara med tre. Primtalsfaktorisering ger:
$\large{\frac{\sqrt[3]{729}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{\sqrt[3]{9^3}}{\sqrt[3]{3^3}}=}\frac93=3$
Svar: $\large{\frac{\sqrt[3]{729}}{\sqrt[3]{27}}}=3$