HÖGSKOLEPROVET
Vad är $\boldsymbol{15 + 5^2 - 3 \cdot 2 + (7 + 3) - \frac{6}{3}?}$
Vi följer prioriteringsreglerna:
Ett heltal är antingen jämnt, exempelvis $-2, 0, 2$ eller udda, exempelvis $-1, 1, 3.$ Ett tal är jämnt om det är delbart med $2$ och udda om det inte är delbart med $2.$ Även negativa heltal är endera jämna, exempelvis $-2, -4, -6,$ eller udda, exempelvis $-1, -3, -5.$ Noll $(0)$ är jämn.
Decimaltal kan inte vara udda eller jämna eftersom regler för udda och jämna tal enbart gäller för heltal.
Ett jämnt tal kan också uttryckas $2 \cdot k$, där $k = 1, 2, ...:$
På samma sätt kan man uttrycka ett udda tal som $2 \cdot k + 1$, där $k = 1, 2, ...:$
$x$ är ett heltal. Är $\boldsymbol{(2x + 1)^2}$ udda eller jämnt?
Enligt vår definition av udda och jämna tal vet vi att $(2x + 1)$ är udda då $x$ är ett heltal. $(2x + 1)^2 = (2x + 1) \cdot (2x + 1).$ Vi har alltså ett udda tal multiplicerat med ett udda tal och då vet vi att produkten är udda.
Svar: $(2x + 1)^2$ är udda.
På vår tallinjen ovan kallas de tal som ligger lika långt ifrån talet $0$ (noll, origo) motsatta tal. Motsatta tal på vår tallinje är:
Faktorisering kan hjälpa oss att lösa uppgifter som annars skulle kräva minräknare. Talet $85 \cdot 103$ kan vi lösa genom faktorisering:
$85 \cdot 103 = 85 (100 + 3) =$
$=85 \cdot 100 + 85 \cdot 3 = 8 500 + 255 = 8 755.$
I ekvationer kan vi ibland behöva faktorisera. Exempelvis $4x^2 - 8x + 6x^3 = 2x(2x - 4 + 3x^2)$
Vad är $\boldsymbol{19 \cdot 24?}$
$19 \cdot 24 = 19 (20 + 4) = 19 (10 + 10 + 4) =$
$=190 + 190 + 76 = 456$
Heltal som följer varandra från minsta till största kallas på varandra följande heltal. Exempelvis $1, 2, 3, 4, 5, 6,$ o.s.v.
På varandra följande udda tal är exempelvis $1, 3, 5, 7,$ o.s.v. och på varandra följande jämna tal är $0, 2, 4, 6,$ o.s.v.
På varandra följande heltal förekommer ofta i uppgifter på Högskoleprovet, exempelvis:
Summan av tre på varandra följande udda heltal är $63.$ Vilka är talen?
Vi kallar vårt minsta tal $x$ det andra talet $x+2$ och det tredje talet $x+4.$ Enligt texten är $x + (x+2) + (x + 4) = 63$.
$3x + 6 = 63$
$3x = 63 - 6 = 57$
$x = \frac{57}{3}=19$ och talen är:Du får inte använda minräknare på Högskoleprovet och därför är det bra om du lär dig att avrunda, huvudräkning och överslagsräkning. Avrundning, huvudräkning och överslagsräkning hjälper oss att beräkna uppgifter och är speciellt viktigt då det är större tal som ska adderas, subtraheras, multipliceras eller divideras. Det finns flera bra strategier för att göra estimat:
Lär dig att avrunda. Räknar vi med: heltal så är det tiondelssiffran som styr avrundningen: $1,6 \approx 2$ och $1,4 \approx 1.$ För tiotal styr entalssiffran avrundningen: $16 \approx 20$ och $14 \approx 10.$ För hundratal är det tiotalssiffran som styr avrundningen: $116 \approx 120$ och $114 \approx 110.$
Studera svarsalternativen: Om det är stor skillnad vet vi att vi inte behöver vara lika exakta i avrundningen, vilket vi behöver om skillnaden är mindre.
Vad är $\boldsymbol{487 + 233}$ avrundat till närmaste hundratal?
$487 + 233 \approx 500 + 200 = 700$
Svar: $700$Vad är:
Faktorisera. Faktorisering kan inte bara göras vid multiplikation, utan även vid de andra räknesätten.
Vad är $\boldsymbol{567 + 432?}$
$567 + 432 = 567 + (400 + 30 + 2) =$
$= 967 + 30 + 2 = 997 + 2 = 999.$
Vad är $\boldsymbol{1567 - 863?}$
$1567 - 863 =$
$= (1000 + 500 + 60 + 7) - (800 + 60 + 3) =$
$= (1000 + 500 - 800) + (60 - 60) + (7 - 3) =$
$= 700 + 4 = 704$
Använd komplementräkning. Komplementet är differensen mellan ett större tal och orginaltalet, exempelvis $67:33: (67 + 33 = 100)$, $42:58, 37:63,$ osv.
Vad är $\boldsymbol{721 - 387?}$
Komplementet av $87$ är $13,$ så vi ersätter $387$ med $(400 - 13):$
$721 - 387 = 721 - (400 - 13) =$
$= 721 - 400 + 13 = 321 + 13 = 334$
Svar: $334$Estimera kvadraten av ett tal. En kvadrat av ett tal kan skrivas $x^2 = (x + d)(x - d) + d^2$ där $x$ är talet i kvadrat och $d$ är differensen.
Vad är $\boldsymbol{57^2?}$
$57^2 = (57 + 3)(57 - 3) + 3^2 = 60 \cdot 54 + 9 =$
$=60(50 + 4) + 9 = 3000 + 240 + 9 = 3249$
Svar: $3249$Förenkla talet så mycket som möjligt.
Vad är $\boldsymbol{\frac{1735}{5}?}$
$\frac{1735}{5} = \frac{2 \cdot 1735}{2 \cdot 5} = \frac{3506}{10} = \frac{3500}{10}+\frac{6}{10} = 350,6$
Svar: $350,6$Prova delbarhet. I kapitlet Bråk och decimaler går vi igenom sätt att snabbt kunna besvara om ett tal är jämnt delbart med ett annat tal.
Är talet $\boldsymbol{3123}$ delbart med $\boldsymbol{3?}$
Talet $3123$ är delbart med $3$ eftersom $3 + 1 + 2 + 3 = 9$ vilket är delbart med $3.$
Svar: Ja, talet $3123$ är jämnt delbart med $3.$Tricks för procent och bråk. Procent och bråk är i själva verket multiplikationer och då spelar ordningen av faktorer ingen roll.
Vad är $\boldsymbol{36\text{%}}$ av $\boldsymbol{25?}$
$36\text{%}$ av $25 = 25\text{%}$ av $36 = \frac14\cdot 36 = 9$
Svar: $9$
Vad är $\boldsymbol{16\text{%}}$ av $\boldsymbol{75?}$
$16\text{%}$ av $75 = 75\text{%}$ av $16 = \frac34\cdot 16 = 12$
Svar: $12$Utnyttja de rötter du kan för att lösa uppgifter med rötter du inte kan.
Vad är ett närmevärde till $\boldsymbol{\sqrt{13}?}$
$\sqrt{13}$ är större än $\sqrt{9} = 3$ och mindre än $\sqrt{16} = 4.$ $13$ ligger ganska nära mitten av $9$ och $16,$ men något närmare $16.$ Vi provar $3,6$ och beräknar $3,6^2 = 12,96.$ Dvs. $\sqrt{13}\approx 3,6.$
Svar: $3,6$Primtalsfaktorisering hjälper oss exempelvis vid förkortning av bråk, och även då vi ska bestämma värdet av större rötter.
Vad är $\boldsymbol{\sqrt{1746}?}$
Vi primtalsfaktoriserar $1746$ på vanligt sätt vilket ger oss $1746=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$
$\Rightarrow$ $\sqrt{1764} =\sqrt{2\cdot2}\cdot\sqrt{3\cdot3}\cdot\sqrt{7\cdot7}=$
$=\sqrt4\cdot\sqrt9\cdot\sqrt{49}=2\cdot3\cdot7 = 42$
Lär dig närmevärdet av vissa ofta återkommande tal för att spara tid.
Vid avrundning kan det vara viktigt att hålla sig till värdesiffror. Om vi exempelvis ska avrunda $\pi$ till tre värdesiffror så får vi $3,14.$ Siffrorna ett till nio är alltid värdesiffror. Vad gäller talet noll så följer det vissa regler:
Vid potensräkning så räknas inte basen eller exponenten som värdesiffror, exempelvis så har talet $1,4 \cdot 10^3$ två värdesiffror.
Då vi beräknar ett tal, exempelvis $3,14 \cdot 2$ så är det talet med minst antal värdesiffror som bestämmer hur vi formulerar vårt svar. Om vi ombeds avrunda vårt svar till gällande regler för värdesiffror så svarar vi att $3,14 \cdot 2 = 6$ eftersom talet $2$ enbart har en värdesiffra.
Exempel: I talet $1 749_{10}$ så är:
För att kunna jämföra tal med två olika baser måste vi därför alltid räkna om de båda talen till samma bas.
Vad är talet $\boldsymbol{103}$ skriven med basen $\boldsymbol{2?}$
Då basen är $10$ som i det här fallet, brukar man inte skriva ut basen - men det är inte fel att göra det om man vill vara tydlig. Ett talsystem med basen tio kallas det decimala talsystemet. Ett talsystem med basen två kallas för det binära talsystemet och skrivs bara med $0$ och $1$.
$103_{10}=1\cdot2^6+1\cdot2^5+0\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0$
Vi är noggranna med att indikera att vi har nollor på positionerna $2^4$ och $2^3.$
Vad är talet $\boldsymbol{1323_5}$ med skriven basen $\boldsymbol{10?}$
$1323_5 =$
| $\boldsymbol{10}$ (Decimal) | $\boldsymbol{8}$ (Oktal) | $\boldsymbol{5}$ | $\boldsymbol{2}$ (Binär) |
|---|---|---|---|
| $1000_{10}$ | $1750_{8}$ | $13000_{5}$ | $1111101000_{2}$ |
| $100_{10}$ | $144_{8}$ | $400_{5}$ | $1100100_{2}$ |
| $80_{10}$ | $120_{8}$ | $310_{5}$ | $1010000_{2}$ |
| $60_{10}$ | $74_{8}$ | $220_{5}$ | $111100_{2}$ |
| $50_{10}$ | $62_{8}$ | $200_{5}$ | $110010_{2}$ |
| $40_{10}$ | $50_{8}$ | $130_{5}$ | $101000_{2}$ |
| $30_{10}$ | $36_{8}$ | $110_{5}$ | $11110_{2}$ |
| $20_{10}$ | $24_{8}$ | $40_{5}$ | $10100_{2}$ |
| $10_{10}$ | $12_{8}$ | $20_{5}$ | $1010_{2}$ |
| $8_{10}$ | $10_{8}$ | $13_{5}$ | $1000_{2}$ |
| $6_{10}$ | $6_{8}$ | $11_{5}$ | $110_{2}$ |
| $4_{10}$ | $4_{8}$ | $4_{5}$ | $100_{2}$ |
| $2_{10}$ | $2_{8}$ | $2_{5}$ | $10_{2}$ |
| $1_{10}$ | $1_{8}$ | $1_{5}$ | $1_{2}$ |