Räkneregler på Högskoleprovet

Sammanfattning Räkneregler på Högskoleprovet

Räkneordningen i matematiska uttryck är, ex. $2^2x(4x - 2x) + 3\cdot2 -3 + 5=$

Först parenteser: $=2^2x\cdot2x + 3\cdot2 -3 + 5=$
Därefter potenser: $=4x\cdot2x + 3\cdot2 -3 + 5=$
följt av multiplikation och division: $=8x^2 + 6 -3 + 5=$
och till sist addition och subtraktion: $=8x^2 + 8$

Regler för udda och jämna tal:

Alla heltal, även negativa, är endera udda, ex. $-1, 1, 3$ och $5$ eller jämna, ex. $-2, 2, 4$ och $6.$
Noll $(0)$ är jämn.
Ett decimaltal kan inte vara udda eller jämnt.
jämnt tal $\pm$ udda tal $=$ udda tal
udda tal $\cdot$ udda tal $=$ udda tal
$\frac{\text{udda tal}}{\text{udda tal}} =$ udda tal
Övriga kombinationer är jämna.

Heltal som följer varandra från minsta till största kallas på varandra följande heltal, exempelvis $1, 2, 3.$ I ekvationer uttrycks detta enligt följande:

Två på varandra följande heltal kan vi skriva $x$ och $x + 1$ med summan $= 2x + 1.$
Tre på varandra följande heltal kan skrivas $x, x + 1, x + 2$ med summan $ = 3x + 3.$
Tre på varandra följande udda heltal kan skrivas $2x + 1, 2x + 3$ och $2x + 5$ med summan $= 6x + 9.$
Tre på varandra följande jämna heltal kan skrivas $2x, 2x + 2$ och $2x + 4$ med summan $= 6x + 6.$

Absolutbeloppet av ett negativt tal är positivt, ex. $\left| -3 \right| = 3$.
$5$ till $9$ avrundas uppåt och $1$ till $4$ nedåt, ex. $15 \approx 20$ och $14 \approx 10.$
Lär dig de smarta strategierna för att göra snabb och effektiv överslagsräkning, estimat och avrundningar.
För att jämföra tal med olika baser måste vi alltid räkna om talen till samma bas:

$110_2=0\cdot2^0+1\cdot2^1+1\cdot2^2=$
$=0\cdot 0+ 1 \cdot 2+ 1 \cdot 4 = 6_{10}$

De fyra räknesätten

De fyra räknesätten är:

Addition som skrivs med plustecken $+$
term $+$ term = summa.
Subtraktion skrivs med minustecken $-$
term $-$ term = differens.
Multiplikation skrivs med gångertecken eller multiplikationstecken $\cdot$
faktor $\cdot$ faktor = produkt.
Division skrivs med bråkstreck
$\frac{täljare}{nämnare}$ = kvot

Prioriteringsregler, räkneordning

Då vi beräknar ett uttryck gör vi det enligt en viss ordning och prioritet enligt följande:

Parenteser
Potenser
Multiplikation och division
Addition och subtraktion

Exempel: Räkneordning

Beräkna $15 + 5^2 - 3 \cdot 2 + (7 + 3) - \frac63$

Vi följer prioriteringsreglerna:

$15 + 5^2 - 3 \cdot 2 + (7 + 3) - \frac63 =$
Parenteser: $=15 + 5^2 - 3 \cdot 2 + (10) - \frac63$ =
Potenser: $=15 + 25 - 3 \cdot 2 + 10 - \frac63 =$
Multiplikation och division: $=15 + 25 - 6 + 10 - 2 =$
Addition och subtraktion: $50 - 8 = 42$

Svar: $42$

Udda och jämna tal

Ett heltal är antingen jämnt, exempelvis $-2, 0, 2$ eller udda, exempelvis $-1, 1, 3.$ Ett tal är jämnt om det är delbart med $2$ och udda om det inte är delbart med $2.$ Även negativa heltal är endera jämna, exempelvis $-2, -4, -6,$ eller udda, exempelvis $-1, -3, -5.$ Noll $(0)$ är jämn.

Decimaltal kan inte vara udda eller jämna eftersom regler för udda och jämna tal enbart gäller för heltal.

Ett jämnt tal kan också uttryckas $2 \cdot k$, där $k = 1, 2, ...:$

$2 \cdot 0 = 0$
$2 \cdot 1 = 2$
$2 \cdot 2 = 4$
och så vidare.

På samma sätt kan man uttrycka ett udda tal som $2 \cdot k + 1$, där $k = 1, 2, ...:$

$2 \cdot 0 + 1 = 1$
$2 \cdot 1 + 1 = 3$
$2 \cdot 2 + 1 = 5$
och så vidare.

Regler för udda och jämna tal: Addition och subtraktion

jämn $\pm$ jämn $=$ jämn, ex. $4 + 4 = 8$ och $ 4 - 4 = 0$
jämn $\pm$ udda $=$ udda, $4 + 3 = 7$ och $ 4 - 3 = 1$
udda $\pm$ udda $=$ jämn, $3 + 3 = 6$ och $ 3 - 3 = 0$

Regler för udda och jämna tal: Multiplikation och division

jämn $\cdot$ jämn $=$ jämn, ex. $4 \cdot 4 = 16$
jämn $\cdot$ udda = jämn, $4 \cdot 3 = 12$
udda $\cdot$ udda = udda, $3 \cdot 3 = 9$
$\frac{\text{jämn}}{\text{jämn}}$ = jämn, $\frac84=2$
$\frac{\text{udda}}{\text{udda}}$ = udda, $\frac93=3$

Exempel: Udda och Jämna Tal

$x$ är ett heltal. Bestäm om $(2x + 1)^2$ är udda eller jämnt

Enligt vår definition av udda och jämna tal vet vi att $(2x + 1)$ är udda då $x$ är ett heltal. $(2x + 1)^2 = (2x + 1) \cdot (2x + 1).$ Vi har alltså ett udda tal multiplicerat med ett udda tal och då vet vi att produkten är udda.

Svar: $(2x + 1)^2$ är udda.

Motsatta tal och absolutbelopp

tallinje

På vår tallinjen ovan kallas de tal som ligger lika långt ifrån talet $0$ (noll, origo) motsatta tal. Motsatta tal på vår tallinje är:

$-3$ och $3$
$-2$ och $2$
$-1$ och $1$

Avståndet från ett tal till origo (0) benämns absolutbeloppet. Absolutbeloppet av $-3$ är alltså $3$ och skrivs på följande vis: $|x+y|.$

Faktorisering

Faktorisering kan hjälpa oss att lösa uppgifter som annars skulle kräva minräknare. Talet $85 \cdot 103$ kan vi lösa genom faktorisering:

$85 \cdot 103 = 85 (100 + 3) =$

$=85 \cdot 100 + 85 \cdot 3 = 8 500 + 255 = 8 755.$

I ekvationer kan vi ibland behöva faktorisera. Exempelvis $4x^2 - 8x + 6x^3 = 2x(2x - 4 + 3x^2)$

Exempel: Faktorisering

Beräkna $19 \cdot 24$

$19 \cdot 24 = 19 (20 + 4) = 19 (10 + 10 + 4) =$
$=190 + 190 + 76 = 456$

Svar: $19 \cdot 24 = 456$

På varandra följande heltal

Heltal som följer varandra från minsta till största kallas på varandra följande heltal. Exempelvis $1, 2, 3, 4, 5, 6,$ o.s.v.

På varandra följande udda tal är exempelvis $1, 3, 5, 7,$ o.s.v. och på varandra följande jämna tal är $0, 2, 4, 6,$ o.s.v.

På varandra följande heltal förekommer ofta i uppgifter på Högskoleprovet, exempelvis:

Två på varandra följande heltal kan vi skriva $x$ och $x + 1.$ Summan $= 2x + 1.$
Tre på varandra följande heltal kan skrivas $x, x + 1, x + 2.$ Summan $= 3x + 3.$
Tre på varandra följande udda heltal kan skrivas $2x + 1, 2x + 3$ och $2x + 5.$ Med summan $= 6x + 9.$
Tre på varandra följande jämna heltal kan skrivas $2x, 2x + 2$ och $2x + 4.$ Summan $= 6x + 6.$

Exempel: På varandra följande heltal

Summan av tre på varandra följande udda heltal är $63.$ Vilka är talen?

Vi kallar vårt minsta tal $2x + 1,$ det andra talet $2x + 3$ och det tredje talet $2x + 5.$
Då är $(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) = 63$.

$6x + 9 = 63$

$6x = 63 - 9 = 54$

$x = 9$ och talen är:

$(2x + 1) = (2 \cdot 9 + 1) = 19$
$(2x + 3) = (2 \cdot 9 + 3) = 21$
$(2x + 5) = (2 \cdot 9 + 3) = 23$

Svar: $19, 21, 23.$

Avrundning, huvudräkning och överslagsräkning

Du får inte använda minräknare på Högskoleprovet och därför är det bra om du lär dig att avrunda, huvudräkning och överslagsräkning. Avrundning, huvudräkning och överslagsräkning hjälper oss att beräkna uppgifter och är speciellt viktigt då det är större tal som ska adderas, subtraheras, multipliceras eller divideras. Det finns flera bra strategier för att göra estimat:

Avrundning

Lär dig att avrunda. Räknar vi med: heltal så är det tiondelssiffran som styr avrundningen: $1,6 \approx 2$ och $1,4 \approx 1.$ För tiotal styr entalssiffran avrundningen: $16 \approx 20$ och $14 \approx 10.$ För hundratal är det tiotalssiffran som styr avrundningen: $116 \approx 120$ och $114 \approx 110.$

Studera svarsalternativen: Om det är stor skillnad vet vi att vi inte behöver vara lika exakta i avrundningen, vilket vi behöver om skillnaden är mindre.

Exempel: Avrundning 1

Exempel: Avrunda $487 + 233$ till närmaste hundratal.

$487 + 233 \approx 500 + 200 = 700$

Svar: $700$

Exempel: Avrundning 2

Avrunda följande tal:

$1,49$ till närmaste heltal.
$15$ till närmaste tiotal.
$150,01$ till närmaste hundratal.

För att avrunda talet $1,49$ till närmaste heltal studerar vi tiondelssiffran som är $4.$ Enligt våra regler ska då talet avrundas nedåt. Dvs, $1,49 \approx 1.$
$15 \approx 20,$ eftersom entalet styr avrundningen och talet $5$ till $9$ avrundas uppåt.
$150,01 \approx 200,$ då tiotalet styr avrundningen och talet $5$ till $9$ avrundas uppåt.

Svar: A. $1,$ B. $20,$ C. $200$

Faktorisering

Faktorisera. Faktorisering kan inte bara göras vid multiplikation, utan även vid de andra räknesätten.

Exempel: Faktorisering 1

Beräkna $567 + 432.$

$567 + 432 = 567 + (400 + 30 + 2) =$
$= 967 + 30 + 2 = 997 + 2 = 999.$

Svar: $999$

Exempel: Faktorisering 2

Beräkna ${1567 - 863.}$

$1567 - 863 =$

$= (1000 + 500 + 60 + 7) - (800 + 60 + 3) =$

$= (1000 + 500 - 800) + (60 - 60) + (7 - 3) =$
$= 700 + 4 = 704$

Svar: $704$

Komplemeträkning

Använd komplementräkning. Komplementet är differensen mellan ett större tal och orginaltalet, exempelvis $67:33: (67 + 33 = 100)$, $42:58, 37:63,$ osv.

Exempel: Komplemeträkning

Beräkna $721 - 387.$

Komplementet av $87$ är $13,$ så vi ersätter $387$ med $(400 - 13):$

$721 - 387 = 721 - (400 - 13) =$

$= 721 - 400 + 13 = 321 + 13 = 334$

Svar: $334$

Estimera kvadraten

Estimera kvadraten av ett tal. En kvadrat av ett tal kan skrivas $x^2 = (x + d)(x - d) + d^2$ där $x$ är talet i kvadrat och $d$ är differensen.

Exempel: Estimera kvadraten

Beräkna $57^2.$

$57^2 = (57 + 3)(57 - 3) + 3^2 = 60 \cdot 54 + 9 =$

$=60(50 + 4) + 9 = 3000 + 240 + 9 = 3249$

Svar: $3249$

Förenkla

Förenkla talet så mycket som möjligt.

Exempel: Förenkling

Beräkna $\frac{1735}{5}$

$\frac{1735}{5} = \frac{2 \cdot 1735}{2 \cdot 5} = \frac{3506}{10} = \frac{3500}{10}+\frac{6}{10} = 350,6$

Svar: $350,6$

Delbarhet

Prova delbarhet. I kapitlet Bråk och decimaler går vi igenom sätt att snabbt kunna besvara om ett tal är jämnt delbart med ett annat tal.

Exempel: Bråk och decimaler

Är talet $3123$ delbart med $3?$

Talet $3123$ är delbart med $3$ eftersom $3 + 1 + 2 + 3 = 9$ vilket är delbart med $3.$

Svar: Ja, talet $3123$ är jämnt delbart med $3.$

Procent och bråk

Tricks för procent och bråk. Procent och bråk är i själva verket multiplikationer och då spelar ordningen av faktorer ingen roll.

Exempel: Procenträkning 1

Beräkna $36\text{%}$ av $25.$

$36\text{%}$ av $25 = 25\text{%}$ av $36 = \frac14\cdot 36 = 9$

Svar: $9$

Exempel: Procenträkning 2

Beräkna $16\text{%}$ av $75.$

$16\text{%}$ av $75 = 75\text{%}$ av $16 = \frac34\cdot 16 = 12$

Svar: $12$

Rötter

Utnyttja de rötter du kan för att lösa uppgifter med rötter du inte kan.

Exempel: Rötter

Beräkna ett närmevärde till $\sqrt{13}$

$\sqrt{13}$ är större än $\sqrt{9} = 3$ och mindre än $\sqrt{16} = 4.$ $13$ ligger ganska nära mitten av $9$ och $16,$ men något närmare $16.$ Vi provar $3,6$ och beräknar $3,6^2 = 12,96.$ Dvs. $\sqrt{13}\approx 3,6.$

Svar: $3,6$

Primtalsfaktorisering

Primtalsfaktorisering hjälper oss exempelvis vid förkortning av bråk, och även då vi ska bestämma värdet av större rötter.

Exempel: Primtalsfaktorisering

Beräkna $\sqrt{1746}.$

Vi primtalsfaktoriserar $1746$ på vanligt sätt vilket ger oss $1746=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$
$\Rightarrow$ $\sqrt{1764} =\sqrt{2\cdot2}\cdot\sqrt{3\cdot3}\cdot\sqrt{7\cdot7}=$
$=\sqrt4\cdot\sqrt9\cdot\sqrt{49}=2\cdot3\cdot7 = 42$

Svar: $42$

Närmevärdet av vissa återkommande tal

Lär dig närmevärdet av vissa ofta återkommande tal för att spara tid.

Exempel: Närmevärden

Rötter avrundade till decimaltal

$\sqrt 2 \approx 1,41$
$\sqrt 3 \approx 1,73$
$\sqrt 5 \approx 2,23$
$\sqrt {10} \approx 3,16$

Bråk avrundade till decimaltal

$\frac13 \approx 0,33$
$\frac16 \approx 0,17$
$\frac17 \approx 0,14$
$\frac19 \approx 0,11$

Pi avrundat till bråk och till decimaltal

$\pi \approx \frac{22}{7} \approx 3,14$

Övrigt:

$1\, m/s = 3,6\, km/h$
$1\, km/h \approx 0,28\, m/s$

Värdesiffror

Vid avrundning kan det vara viktigt att hålla sig till värdesiffror. Om vi exempelvis ska avrunda $\pi$ till tre värdesiffror så får vi $3,14.$ Siffrorna ett till nio är alltid värdesiffror. Vad gäller talet noll så följer det vissa regler:

Nollor inuti ett tal räknas som värdesiffror, ex. talet $102$ har tre värdesiffror.
Nollor i början av ett tal är inte värdesiffror, ex. talet $0,021$ har två värdesiffror.
Nollor i slutet av ett tal med decimaler räknas som värdesiffror, ex. talet $0,100$ har tre värdesiffror.
Nollor i slutet av ett heltal kan vara värdesiffror, det varierar från fall till fall, ex. talet $100$ kan ha en, två eller tre värdesiffror.

Vid potensräkning så räknas inte basen eller exponenten som värdesiffror, exempelvis så har talet $1,4 \cdot 10^3$ två värdesiffror.

Då vi beräknar ett tal, exempelvis $3,14 \cdot 2$ så är det talet med minst antal värdesiffror som bestämmer hur vi formulerar vårt svar. Om vi ombeds avrunda vårt svar till gällande regler för värdesiffror så svarar vi att $3,14 \cdot 2 = 6$ eftersom talet $2$ enbart har en värdesiffra.

Talbas och talsystem

Vårt talsystem är ett sk. positionssystem där varje siffra har ett visst värde beroende på sin position, dvs var den är placerad i talet.

Exempel: I talet $1 749_{10}$ så är:

Ettan en tusentalssiffra $= 10^3$
sjuan en hundratalssiffra $= 10^2$
fyran en tiotalssiffra $= 10^1$
och nian en entalssiffra $= 10^0.$

Om vi byter bas till fem, dvs $1 749_ 5$ får vi ett helt annat tal:

Ettan är en etthundratjugofemtalssiffra $= 5^3$
sjuan en tjugofemtalssiffra $= 5^2$
fyran en femtalssiffra $= 5^1$
nian är fortfarande en entalssiffra $= 5^0.$

För att kunna jämföra tal med två olika baser måste vi därför alltid räkna om de båda talen till samma bas.

Exempel: Talbas och talsystem

Skriv talet $818_5$ med basen $10.$

$818_5 =$

$8 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200$
$1 \cdot 5^1 = 1 \cdot 5 = 5$
$8 \cdot 5^0 = 8 \cdot 1 = 8$

$200 + 5 + 8 = 213$

Svar: $818_5 = 213_{10}$