Räkneregler på Högskoleprovet
Sammanfattning Räkneregler på Högskoleprovet
- Räkneordningen är:
- Parenteser
- Potenser
- Multiplikation och division
- Addition och subtraktion
- Regler för udda och jämna tal:
- jämnt tal + udda tal = udda tal
- udda tal · udda tal = udda tal
- Övriga kombinationer är jämna.
- Absolutbeloppet av ett negativt tal är positivt, ex. | -3 | = 3.
- 5 till 9 avrundas uppåt och 1 till 4 nedåt, ex. 15 avrundas till 20 och 14 avrundas till 10.
- För att jämföra tal med olika baser måste vi alltid räkna om talen till samma bas.
De fyra räknesätten
De fyra räknesätten är:
-
Addition som skrivs med plustecken +
term + term = summa. -
Subtraktion skrivs med minustecken $-$
term $-$ term = differens. -
Multiplikation skrivs med gångertecken eller multiplikationstecken ·
faktor · faktor = produkt. -
Division skrivs med bråkstreck
$\frac{täljare}{nämnare}$ = kvot
Prioriteringsregler, räkneordning
Då vi beräknar ett uttryck gör vi det enligt en viss ordning (prioritet) enligt följande:
- Parenteser
- Potenser
- Multiplikation och division
- Addition och subtraktion
Exempel: Räkneordning
Beräkna 15 + 52 - 3 · 2 + (7 + 3) - $\frac63$
Vi följer prioriteringsreglerna:
15 + 52 - 3 · 2 + (7 + 3) - $\frac63$ =
15 + 52 - 3 · 2 + (10) - $\frac63$ =
15 + 25 - 3 · 2 + 10 - $\frac63$ =
15 + 25 - 6 + 10 - 2 =
50 - 8 = 42
Svar: 42
Jämna och udda tal
Ett heltal är antingen jämnt, exempelvis 2, 4, 6 eller udda, exempelvis 1, 3, 5. Ett tal är jämnt om det är delbart med 2 och udda om det inte är delbart med 2.
Ett jämnt tal kan också uttryckas 2 · k, där k = 1, 2, ... Dvs 2 · 1 = 2, 2 · 2 = 4, 2 · 3 = 6, osv. På samma sätt kan man uttrycka ett udda tal som 2 · k + 1. Dvs 2 ·1 + 1 = 3, 2 · 2 + 1 = 5, 2 · 3 + 1 = 7, osv.
Regler för udda och jämna tal: Addition och subtraktion
- jämn ± jämn = jämn, ex. 4 + 4 = 8, 4 - 4 = 0
- jämn ± udda = udda, 4 + 3 = 7, 4 - 3 = 1
- udda ± udda = jämn, 3 + 3 = 6, 3 - 3 = 0
Regler för udda och jämna tal: Multiplikation
- jämn · jämn = jämn, ex. 4 · 4 = 16
- jämn · udda = jämn, 4 · 3 = 12
- udda · udda = udda, 3 · 3 = 9
Exempel: Udda och Jämna Tal
x är ett heltal. Bestäm om (2x + 1)2 är udda eller jämnt
Vi vet att (2x + 1) är udda då x är ett heltal. Enligt regler för udda och jämna tal är ett udda tal multiplicerat med ett udda tal lika med ett udda tal.
Svar: (2x + 1)
2 är udda.
Motsatta tal och absolutbelopp

På vår tallinjen ovan kallas de tal som ligger lika långt ifrån talet 0 (origo) motsatta tal. Motsatta tal på vår tallinje är -3 och 3, -2 och 2, -1 och 1.
Avståndet från ett tal till origo (0) benämns absolutbeloppet. Absolutbeloppet av -3 är alltså 3 och skrivs på följande vis: | -3 | = 3.
Faktorisering
Faktorisering kan hjälpa oss att lösa uppgifter som annars skulle kräva minräknare. Talet 85 · 103 kan vi lösa genom faktorisering: 85 · 103 = 85 (100 + 3) = 85 · 100 + 85 · 3 = 8 500 + 255 = 8 755.
I ekvationer kan vi ibland behöva faktorisera. Exempelvis 4x2 - 8x + 6x3 = 2x(2x - 4 + 3x)
Exempel: Faktorisering
Beräkna 19 · 24
19 · 24 = 19 (20 + 4) = 19 (10 + 10 + 4) =
190 + 190 + 76 = 456
Svar: 19 · 24 = 456
Avrundning och överslagsräkning
Oftast står det angivet i uppgiften om avrundning ska ske och i så fall hur. Räknar vi med:
- heltal är det tiondelssiffran som styr avrundningen.
- tiotal är det entalssifran som styr avrduningen.
- hundratal är det tiotalssiffran som styr avrduningen.
- osv.
Det tal som styr avrundningen, exempelvis tiondelssifran vid avrundning av ett heltal, gör det enligt två regler.
- Om tiondelssiffran är lika med 1 till 4 så avrundas talet nedåt, exempelvis 1,1 avrundas till 1.
- Om tiondelssifran är lika med 5 till 9 så avrundas talet uppåt, exempelvis 1,6 avrundas till 2.
Exempel: Avrunding
Avrunda följande tal:
- 1,49 till närmaste heltal
- 15 till närmaste tiotal
- 150,01 till närmaste hundratal
a. För att avrunda talet 1,49 till närmaste heltal studerar vi tiondelssiffran som är 4. Enligt våra regler ska då talet avrundas nedåt. Dvs, 1,49 avrundas till 1.
b. 15 avrundas till 20, eftersom entalet styr avrundningen och talet 5 till 9 avrundas uppåt.
c. 150,01 avrundas till 200, då tiotalet styr avrundningen och talet 5 till 9 avrundas uppåt.
Svar: a. 1, b. 20, c. 200
Värdesiffror
Vid avrundning kan det vara viktigt att hålla sig till värdesiffror. Om vi exempelvis ska avrunda $\pi$ till tre värdesiffror så får vi 3,14. Siffrorna ett till nio är alltid värdesiffror. Vad gäller talet noll så följer det vissa regler:
- Nollor inuti ett tal räknas som värdesiffror, ex. talet 102 har tre värdesiffror.
- Nollor i början av ett tal är inte värdesiffror, ex. talet 0,021 har två värdesiffror.
- Nollor i slutet av ett tal med decimaler räknas som värdesiffror, ex. talet 0,100 har tre värdesiffror.
- Nollor i slutet av ett heltal kan vara värdesiffror, det varierar från fall till fall, ex. talet 100 kan ha en, två eller tre värdesiffror.
Vid potensräkning så räknas inte basen eller exponenten som värdesiffror, exempelvis så har talet 1,4 · 103 två värdesiffror.
Då vi beräknar ett tal, exempelvis 3,14 · 2 så är det talet med minst antal värdesiffror som bestämmer hur vi formulerar vårt svar. Om vi ombeds avrunda vårt svar till gällande regler för värdesiffror så svarar vi att 3,14 · 2 = 6 eftersom talet 2 enbart har en värdesiffra.
Talbas och talsystem
Vårt talsystem är ett sk. positionssystem där varje siffra har ett visst värde beroende på sin position, dvs var den är placerad i talet. Exempel: I talet 1 74910 så är: - Ettan en tusentalssiffra = 103
- sjuan en hundratalssiffra = 102
- fyran en tiotalssiffra = 101
- och nian en entalssiffra = 100.
Om vi byter bas till fem, dvs 1 7495 får vi ett helt annat tal: - Ettan är en etthundratjugofemtalssiffra = 53
- sjuan en tjugofemtalssiffra = 52
- fyran en femtalssiffra = 51
- nian är forfarande en entalssiffra = 50.
För att kunna jämföra tal med två olika baser måste vi därför alltid räkna om de båda talen till samma bas.
Exempel: Talbas och talsystem
Skriv talet 8185 med basen 10.
8185 =
- 8 · 52 = 8 · 25 = 200
- 1 · 51 = 1 · 5 = 5
- 8 · 50 = 8 · 1 = 8
200 + 5 + 8 = 213
Svar: 818
5 = 213
10