HÖGSKOLEPROVET
Vad är a?
Diagonalen i en kvadrat delar in kvadraten i två rätvinkliga och likbenta trianglar med kateterna lika med kvadratens sida. I rätvinkliga trianglar kan vi använda Pythagoras sats:
a = $\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{2 \cdot 10^2}=10 \sqrt{2}$
Svar: a = $10 \sqrt{2}$
Diagonalen i en kvadrat är alltid lika med sidan multiplicerat med roten ur två.
I kvadraten ABCD med sidan x är M mittpunkten på sidan AB, N är mittpunkt på sidan CD och O är mittpunkt på sidan NC. Vad är arean AMOD?
AMOD kan vi dela upp i en rektangel med sidorna $\frac{x}{2}$ och x och en triangel med basen $\frac{x}{4}$ och höjden x:
Arean av rektangeln = $x \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2}$
Arean av triangeln = $\frac{x \cdot \frac{x}{4}}{2}=\frac{x^2}{8}$
Arean av AMOD = $\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{8} = \frac{4x^2+x^2}{8}=\frac{5x^2}{8}$
Svar: Arean AMOD = $\frac{5x^2}{8}$
Två likbenta och rätvinkliga trianglar med samma bas och höjd med längden $s$ sammanfogas enligt figuren nedan. Arean av den sammanfogade figuren är $36\,cm^2$. Hur lång är längden $d$ i den sammanfogade figuren?
Vi vet att diagonalen $d$ av alla kvadrater kan beräknas som $d=\sqrt{2}\cdot s$. Sidan $s$ beräknar vi som $\sqrt{arean}=\sqrt{36}=6\,cm.$ Vilket ger oss $d=6\sqrt{2}\,cm.$
Svar: $d=6\sqrt{2}\,cm.$
Vad är a?
På samma sätt som i en kvadrat, så delar diagonalen i rektangeln upp den i två rätvinkliga trianglar. Däremot är inte trianglarna likbenta som då vi delar upp kvadraten med en diagonal. Vi använder Pythagoras sats för att beräkna a:
a = $\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{125}$
Svar: a = $\sqrt{125}$
I en parallellogram är motstående sidor parallella och lika långa. Vinklarna i en parallellogram kan vara räta, men behöver inte vara det. Om en vinkel i en parallellogram är rät, så är de övriga vinklarna också räta. Motstående vinklar i parallellogrammen är lika stora, dvs vinkeln A = vinkeln D och vinkeln B = vinkeln C.
Om två närliggande sidor i en parallellogram är lika stora, så är parallellogrammen liksidig. I en parallellogram halverar diagonalerna varandra. Diagonalen delar en parallellogram i två kongruenta trianglar, dvs motsvarande sidor är lika långa och motsvarande vinklar är lika långa.
En romb är en parallellogram där fyrhörningens alla sidor har samma längd.
$$Omkrets = 2(a+b)$$ $$Area=bh$$ $$Vinkelsumma = A+B+C+D=360^o$$
ABCD är en parallellogram. Vad är y?
Vinkelsumman i en parallellogram är 360° och motstående vinklar är lika stora vilket ger oss:
2(4y + 5y) = 360°
18y = 360°
y = $\frac{360^o}{18}$ = 20°
Svar: y = 20°
Beräkna omkretsen av parallellogrammen om längden på den horisontella sidan är 12 cm.
Omkretsen av en parallellogram är 2(a + b). Enligt texten är basen, b = 12 cm. Vi använder pythagoras sats för att beräkna sidan a, där a utgör hypotenusan av triangeln med basen (12 - 8) = 4 cm och höjden 3 cm:
$a^2=4^2+3^2 \Rightarrow b = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}=5$
Omkretsen = 2(a + b) = 2(5 + 12) = 34 cm
Svar: Omkretsen = 34 cm
$$Omkrets = a+b+c+d$$ $$Area=\frac{h(a+b)}{2}$$ $$Vinkelsumma = A+B+C+D=360^o$$
I det likbenta parallelltrapetsen är vinkeln XYZ = 3x + 19 och vinkeln WXY = x + 1. Beräkna x.
Vi vet att i ett likbent parallelltrapets är motstående vinklar supplementvinklar, dvs:
XYZ + WXY = 180°
(3x + 19) + (x + 1) = 180°
4x + 20 = 180°
x = $\frac{180-20}{4}$ = 40°