Fyrhörningar på Högskoleprovet
Sammanfattning Fyrhörningar på Högskoleprovet
- Kvadratens omkrets = 4s, area = s2
- Rektangel omkrets = 2(b + h), area = bh
- Egenskaper för en parallellogram:
- Omkrets = 2(b + h), area = bh
- Motstående sidor är parallella och lika långa.
- Motstående vinklar är lika stora.
- En romb är en parallellogram där alla sidorna är lika långa.
- I en parallellogram halverar diagonalerna varandra och delar parallellogramen i 2 kongruenta trianglar.
- Egenskaper för ett parallelltrapets:
- Omkrets = summan av sidornas längd.
- Area = $\frac{h(a+b)}{2}$
- Två sidor är parallella.
- I ett likbent parallelltrapets är vinklarna vid basen lika stora, de icke-parallella sidorna lika stora och motstående vinklar är supplementvinklar.
Fyrhörningar: Kvadrat, Rektangel, Parallellogram och Parallelltrapets
De fyrhörningar vi går igenom i kapitlet är:
- Kvadrat
- Rektangel
- Parallellogram och romb
- Parallelltrapets
Kvadrat

I en kvadrat är alla sidor lika långa och alla vinklar är räta.
$$Omkrets = 4s$$
$$Area=s^2$$
$$Vinkelsumma = 4\cdot90^o=360^o$$
Rektangel

På samma sätt som i en kvadrat är alla vinklar i en rektangel räta, motstående sidor är parallella och lika långa men till skillnad från kvadraten är längden och höjden olika.
$$Omkrets = 2(b+h)$$
$$Area=bh$$
$$Vinkelsumma = 4\cdot90^o=360^o$$
Parallellogram och romb

I en parallellogram är motstående sidor parallella och lika långa. Vinklarna i en parallellogram kan vara räta, men behöver inte vara det. Om en vinkel i en parallellogram är rät, så är de övriga vinklarna också räta. Motstående vinklar i parallellogrammen är lika stora, dvs vinkeln A = vinkeln D och vinkeln B = vinkeln C.
Om två närliggande sidor i en parallellogram är lika stora, så är parallellogrammen liksidig. I en parallellogram halverar diagonalerna varandra. Diagonalen delar en parallellogram i två kongruenta trianglar, dvs motsvarande sidor är lika långa och motsvarande vinklar är lika långa.
En romb är en parallellogram där fyrhörningens alla sidor har samma längd.
$$Omkrets = 2(a+b)$$
$$Area=bh$$
$$Vinkelsumma = A+B+C+D=360^o$$
Parallelltrapets

Ett parallelltrapets är en fyrhörning där två sidor är parallella.
I ett likbent trapets är vinklarna vid basen lika stora (vinkeln A = vinkeln B), de icke-parallella sidorna lika stora (sidan c = sidan d) och motstående vinklar är supplementvinklar (vinkeln A + vinkeln D = 180° och vinkeln B + vinkeln C = 180°).
$$Omkrets = a+b+c+d$$
$$Area=\frac{h(a+b)}{2}$$
$$Vinkelsumma = A+B+C+D=360^o$$
Exempel: Likbent Parallelltrapets
I den likbenta parallelltrapetsen är vinkeln XYZ = 3x + 19 och vinkeln WXY = x + 1. Beräkna x.

Vi vet att i ett likbent parallelltrapets är motstående vinklar supplementvinklar, dvs:
XYZ + WXY = 180°
(3x + 19) + (x + 1) = 180°
4x + 20 = 180°
x = $\frac{180-20}{4}$ = 40°
Svar: x = 40°
Exempel: Omkrets av en Parallellogram
Beräkna omkretsen av parallellogramen om längden på den horisontella sidan är 12 cm.

Omkretsen av en parallellogram är 2(a + b). Enligt texten är basen, b = 12 cm. Vi använder pythagoras sats för att beräkna sidan a, där a utgör hypotenusan av triangeln med basen (12 - 8) = 4 cm och höjden 3 cm:
$a^2=4^2+3^2 \Rightarrow b = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}=5$
Omkretsen = 2(a + b) = 2(5 + 12) = 34 cm
Svar: Omkretsen = 34 cm